Question

【題目】已知圖形和圖形上的兩點、，如果上的所有點都在圖形的內部或邊上，則稱為圖形的內�。�特別的，在中，，分別是兩邊的中點，如果上的所有點都在的內部或邊上，則稱為的中內�。�（注：是指劣弧或半圓）在平面直角坐標系中，已知點．設內弧所在圓的圓心為．

（1）當時，連接、并延長．

①請在圖1中畫出一條的內弧；

②請直接寫出的內弧長度的最大值__________．

（2）連接、并延長．

①當時，請直接寫出的所有內弧所在圓的圓心的縱坐標的取值范圍__________；

②若直線上存在的內弧所在圓的圓心，請求出的取值范圍．

（3）作點關于點的對稱點，作點關于點的對稱點，連接、、．令，當的中內弧所在的圓的圓心在的外部時，的所有中內弧都存在，請直接寫出的取值范圍__________．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②；（2）①或，②且；（3）

【解析】

（1）①過點A、B作弧線即可；

②以線段AB為直徑的半圓即是的內弧長度的最大值，利用弧長公式計算即可；

（2）①根據(jù)點A、B的坐標求出AB=，及∠OAB=30°，再分兩種情況：當在線段AB上方時，當在線段AB下方時，分別求出最長值即可得到答案；

②取直線x=6上一點P，連接BP，過點P作PC⊥AB于C，直線x=6交x軸于點D，當在線段AB下方時且最大，過A、B兩點的圓P與y軸相切，則BP⊥y軸，PC垂直平分AB，此時四邊形OBPD是矩形，根據(jù)矩形的性質及三角形相似求出n的值，即可得到答案；

（3）作AO的垂直平分線，交x軸于點D，交CD于點P，交AB于點E，根據(jù)在線段AO的下方時，在AO的上方時，分別求出的最大值，即可得到n的取值范圍.

解：（1）①如圖：

②以線段AB為直徑的半圓即是的內弧長度的最大值，

∵A(4，0)，B(0，4)，

∴OA=OB=4，

∴AB=，

∴的內弧長度的最大值==，

故答案為：；

（2）①∵A(4，0)，B(0，)，

∴OA=4，OB=,

∴AB=，

如圖，當在線段AB上方時，此時以AB為直徑的半圓的弧線最長，過圓心P作PH⊥x軸于H，則PH=，

∴，

如圖，當在線段AB下方時，過A、B兩點的圓P與x軸相切，過點A作x軸的垂線，與線段AB的垂直平分線交于點P，交AB于點H，此時最長，連接BP，

∵OA=4，OB=,

∴tan∠OAB= ，

∴∠OAB=30°，

∴∠BAP=60°，

∵PH垂直平分AB，

∴AP=BP，

∴△ABP是等邊三角形，

∴AP=AB=，

∴，

綜上，或；

②如圖，取直線x=6上一點P，連接BP，過點P作PC⊥AB于C，直線x=6交x軸于點D，

當在線段AB下方時且最大，過A、B兩點的圓P與y軸相切，則BP⊥y軸，PC垂直平分AB，此時四邊形OBPD是矩形，

∴BP=OD=6，

∵A(4，0)，B(0，n),

∴OA=4，OB=n，

∴AB=，

∴BC=

易證△AOB∽△BCP，

∴,

∴

解得n=（n=-舍去），

同理，當在線段AB上方時且最大，n=-，

綜上，n的取值范圍是且；

（3）作AO的垂直平分線，交x軸于點D，交CD于點P，交AB于點E，

當在線段AO的下方時，當AO是直徑時，最大，此時DP=OD=AD=2<OC，即圓心P在△BCD內部，

當在AO的上方時，當圓P與BD相切時，即AP⊥BD時，最大，

∵PE⊥AO

∴，

∴，

解得，

∴當的中內弧所在的圓的圓心在的外部時，的所有中內弧都存在，n的取值范圍是.