【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn) B(b,t)在直線x=b上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)D、E、F分別為OB、0A、AB的中點(diǎn),其中b是大于零的常數(shù).
(1)判斷四邊形DEFB的形狀.并證明你的結(jié)論;
(2)試求四邊形DEFB的面積S與b的關(guān)系式;
(3)設(shè)直線x=b與x軸交于點(diǎn)C,問:四邊形DEFB能不能是矩形?若能.求出t的值;若不能,說(shuō)明理由.
【答案】(1)平行四邊形,證明見解析;(2)S=2b(b>0);(3)當(dāng)0<b≤4時(shí),四邊形DEFB是矩形,這時(shí),t=4±,當(dāng)b>4時(shí),四邊形DEFB不是矩形.
【解析】
解:(1)四邊形DEFB是平行四邊形.
證明:∵D、E分別是OB、OA的中點(diǎn),
∴DE∥AB,同理,EF∥OB,
∴四邊形DEFB是平行四邊形;
(2)如圖,連接BE,
S△AOB=×8×b=4b,
∵E、F分別為OA、AB的中點(diǎn),
∴S△AEF=S△AEB=S△AOB=b,
同理S△EOD=b,
∴S=S△AOB-S△AEF-S△ODE=4b-b-b=2b,
即S=2b(b>0);
(3)解法一:以E為圓心,OA長(zhǎng)為直徑的圓記為⊙E,
①當(dāng)直線x=b與⊙E相切或相交時(shí),若點(diǎn)B是切點(diǎn)或交點(diǎn),則∠ABO=90°,由(1)知,四邊形DEFB是矩形,
此時(shí)0<b≤4,可得△AOB∽△OBC,
∴
,即OB2=OABC=8t,
在Rt△OBC中,OB2=BC2+OC2=t2+b2,
∴t2+b2=8t,
∴t2-8t+b2=0,
解得t=4±,
②當(dāng)直線x=b與⊙E相離時(shí),∠ABO≠90°,
∴四邊形DEFB不是矩形,
綜上所述:當(dāng)0<b≤4時(shí),四邊形DEFB是矩形,這時(shí),t=4±,當(dāng)b>4時(shí),四邊形DEFB不是矩形;
解法二:由(1)知,當(dāng)∠ABO=90°時(shí),四邊形DEFB是矩形,
此時(shí),Rt△OCB∽R(shí)t△ABO,
∴,即OB2=OABC,
又OB2=BC2+OC2=t2+b2,OA=8,BC=t(t>0),
∴t2+b2=8t,
∴(t-4)2=16-b2,
①當(dāng)16-b2≥0時(shí),解得t=4±,此時(shí)四邊形DEFB是矩形,
②當(dāng)16-b2<0時(shí),t無(wú)實(shí)數(shù)解,此時(shí)四邊形DEFB不是矩形,
綜上所述:當(dāng)16-b2≥0時(shí),四邊形DEFB是矩形,此時(shí)t=4±,當(dāng)16-b2<0時(shí),四邊形DEFB不是矩形;
解法三:如圖,過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC,垂足為M,
在Rt△AMB中,AB2=AM2+BM2=b2+(8-t)2,
在Rt△OCB中,OB2=OC2+BC2=b2+t2,
在Rt△OAB中,當(dāng)AB2+OB2=OA2時(shí),∠ABO=90°,則四邊形DEFB為矩形,
∴b2+(8-t)2+b2+t2=82,
化簡(jiǎn)得t2-8t=-b2,配方得(t-4)2=16-b2,其余同解法二.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,射線AM上有一點(diǎn)B,AB=6.點(diǎn)C是射線AM上異于B的一點(diǎn),過(guò)C作CD⊥AM,且CD=AC.過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AD,交射線AM于E. 在射線CD取點(diǎn)F,使得CF=CB,連接AF并延長(zhǎng),交DE于點(diǎn)G.設(shè)AC=3x.
(1) 當(dāng)C在B點(diǎn)右側(cè)時(shí),求AD、DF的長(zhǎng).(用關(guān)于x的代數(shù)式表示)
(2)當(dāng)x為何值時(shí),△AFD是等腰三角形.
(3)若將△DFG沿FG翻折,恰使點(diǎn)D對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在射線AM上,連接,.此時(shí)x的值為 (直接寫出答案)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商店購(gòu)進(jìn)、兩種商品,購(gòu)買1個(gè)商品比購(gòu)買1個(gè)商品多花10元,并且花費(fèi)300元購(gòu)買商品和花費(fèi)100元購(gòu)買商品的數(shù)量相等.
(1)求購(gòu)買一個(gè)商品和一個(gè)商品各需要多少元;
(2)商店準(zhǔn)備購(gòu)買、兩種商品共80個(gè),若商品的數(shù)量不少于商品數(shù)量的4倍,并且購(gòu)買、商品的總費(fèi)用不低于1000元且不高于1050元,那么商店有哪幾種購(gòu)買方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)坐標(biāo)為軸上點(diǎn),將線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,過(guò)點(diǎn)作直線軸于,過(guò)點(diǎn)作直線于.
(1)當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí),求直線的函數(shù)表達(dá)式.
(2)當(dāng)時(shí),求的面積.
(3)在直線上是否存在點(diǎn),使得?若存在,試用的代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①所示,已知正方形ABCD和正方形AEFG,連接DG,BE.
(1)發(fā)現(xiàn):當(dāng)正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),如圖②所示.
①線段DG與BE之間的數(shù)量關(guān)系是 ;
②直線DG與直線BE之間的位置關(guān)系是 ;
(2)探究:如圖③所示,若四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形,且AD=2AB,AG=2AE時(shí),上述結(jié)論是否成立,并說(shuō)明理由.
(3)應(yīng)用:在(2)的情況下,連接BG、DE,若AE=1,AB=2,求BG2+DE2的值(直接寫出結(jié)果).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將如圖所示的牌面數(shù)字1、2、3、4的四張撲克牌背面朝上,洗勻后放在桌面上.
(1)從中隨機(jī)抽出一張牌,牌面數(shù)字是奇數(shù)的概率是 ;
(2)從中隨機(jī)抽出兩張牌,兩張牌牌面數(shù)字的和是6的概率是 ;
(3)先從中隨機(jī)抽出一張牌,將牌面數(shù)字作為十位上的數(shù)字,然后將該牌放回并重新洗勻,再隨機(jī)抽取一張,將牌面數(shù)字作為個(gè)位上的數(shù)字,請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法求組成的兩位數(shù)恰好是3的倍的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】國(guó)家醫(yī)保局相關(guān)負(fù)責(zé)人3月25日表示,2019年底前我國(guó)將實(shí)現(xiàn)生育保險(xiǎn)基金并入職工基本醫(yī)療保險(xiǎn)基金,統(tǒng)一征繳,就是通常所說(shuō)的“五險(xiǎn)變四險(xiǎn)”.傳統(tǒng)的五險(xiǎn)包括:養(yǎng)老保險(xiǎn)、失業(yè)保險(xiǎn)、醫(yī)療保險(xiǎn)、工傷保險(xiǎn)、生育保險(xiǎn).某單位從這五險(xiǎn)中隨機(jī)抽取兩種,為員工提高保險(xiǎn)比例,則正好抽中養(yǎng)老保險(xiǎn)和醫(yī)療保險(xiǎn)的概率是( )
A.B.C.D.
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【題目】已知正方形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O.
(1)如圖1,E,G分別是OB,OC上的點(diǎn),CE與DG的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.若DF⊥CE,求證:OE=OG;
(2)如圖2,H是BC上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)H作EH⊥BC,交線段OB于點(diǎn)E,連結(jié)DH交CE于點(diǎn)F,交OC于點(diǎn)G.若OE=OG,
①求證:∠ODG=∠OCE;
②當(dāng)AB=1時(shí),求HC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圖形和圖形上的兩點(diǎn)、,如果上的所有點(diǎn)都在圖形的內(nèi)部或邊上,則稱為圖形的內(nèi)。貏e的,在中,,分別是兩邊的中點(diǎn),如果上的所有點(diǎn)都在的內(nèi)部或邊上,則稱為的中內(nèi)。ㄗⅲ是指劣弧或半圓)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn).設(shè)內(nèi)弧所在圓的圓心為.
(1)當(dāng)時(shí),連接、并延長(zhǎng).
①請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出一條的內(nèi)弧;
②請(qǐng)直接寫出的內(nèi)弧長(zhǎng)度的最大值__________.
(2)連接、并延長(zhǎng).
①當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫出的所有內(nèi)弧所在圓的圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍__________;
②若直線上存在的內(nèi)弧所在圓的圓心,請(qǐng)求出的取值范圍.
(3)作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),連接、、.令,當(dāng)的中內(nèi)弧所在的圓的圓心在的外部時(shí),的所有中內(nèi)弧都存在,請(qǐng)直接寫出的取值范圍__________.
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