Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC ， ∠ABC= ，AB=8，AD=3，BC=4，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（　　）
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C
【解析】解答：∵AB⊥BC ， ∴∠B= ．
∵AD∥BC ，
∴∠A=180°-∠B= ，
∴∠PAD=∠PBC= ．AB=8，AD=3，BC=4，
設(shè)AP的長(zhǎng)為x ， 則BP長(zhǎng)為8-x ．
若AB邊上存在P點(diǎn)，使△PAD與△PBC相似，那么分兩種情況：
①若△APD∽△BPC ， 則AP：BP=AD：BC ， 即x：（8-x）=3：4，解得x= ；
②若△APD∽△BCP ， 則AP：BC=AD：BP ， 即x：4=3：（8-x），解得x=2或x=6．
∴滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是3個(gè)，
故選：C．

分析：因?yàn)椤?/span>PAD=∠PBC= ，所以要使△PAD與△PBC相似，分兩種情況討論：①△APD∽△BPC ， ②△APD∽△BCP ， 這兩種情況都可以根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等求出AP的長(zhǎng)，從而得到P點(diǎn)的個(gè)數(shù)．進(jìn)行分類(lèi)討論是解答此題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握相似三角形的判定方法:兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似； 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）．