閱讀材料:
如圖1,過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線,外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a),中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法:
S△ABC=ah,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.
解答下列問題:
如圖2,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0),交y軸于點(diǎn)B.
(1)求拋物線和直線AB的解析式;
(2)點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PA,PB,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí),求△CAB的鉛垂高CD及S△CAB;
(3)是否存在一點(diǎn)P,使S△PAB=S△CAB?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)已知了頂點(diǎn)C坐標(biāo),可用頂點(diǎn)式的二次函數(shù)通式設(shè)出這個(gè)二次函數(shù),然后根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)可求出二次函數(shù)的解析式.然后根據(jù)求出的二次函數(shù)的解析式,求出B點(diǎn)的坐標(biāo),然后可用待定系數(shù)法用B、A的坐標(biāo)求出AB所在直線的解析式;
(2)要求三角形CAB的面積,根據(jù)題中給出的求三角形面積的求法,那么要先求出水平寬和鉛垂高,求鉛垂高就要求出C,D兩點(diǎn)縱坐標(biāo),C點(diǎn)的坐標(biāo)已知,可用(1)中的一次函數(shù)求出D點(diǎn)的縱坐標(biāo),那么C,D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差的絕對值就是三角形CAB的鉛垂高,而水平寬是A點(diǎn)的橫坐標(biāo),這樣可根據(jù)題中給出的求三角形的面積的方法得出三角形CAB的面積;
(3)可先根據(jù)(2)中三角形CAB的面積得出三角形PAB的面積,三角形PAB中,水平寬是A的橫坐標(biāo)為定值,因此根據(jù)三角形PAB的面積可得出此時(shí)的鉛垂高,然后用拋物線的解析式以及一次函數(shù)的解析式,先表示出鉛垂高,然后根據(jù)由三角形PAB的面積求出的鉛垂高可得出關(guān)于x的方程,即可得出x的值,然后代入二次函數(shù)式中即可得出此點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)設(shè)拋物線的解析式為:y1=a(x-1)2+4
把A(3,0)代入解析式求得a=-1
所以y1=-(x-1)2+4=-x2+2x+3
設(shè)直線AB的解析式為:y2=kx+b
由y1=-x2+2x+3求得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3)
把A(3,0),B(0,3)代入y2=kx+b中
解得:k=-1,b=3
所以y2=-x+3;

(2)因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)
所以當(dāng)x=1時(shí),y1=4,y2=2
所以CD=4-2=2
S△CAB=×3×2=3(平方單位);

(3)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P,設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,△PAB的鉛垂高為h,
則h=y1-y2=(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x
由S△PAB=S△CAB
得:×3×(-x2+3x)=×3
化簡得:4x2-12x+9=0
解得,x=
將x=代入y1=-x2+2x+3中,
解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(,).
點(diǎn)評:本題結(jié)合三角形面積的求法考查了二次函數(shù)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用,讀懂題意,弄清水平寬和鉛垂高的意義是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

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如圖1,過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線,外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a),中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法:
S△ABC=
1
2
ah,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.
解答下列問題:
如圖2,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0),交y軸于點(diǎn)B.
(1)求拋物線和直線AB的解析式;
(2)點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PA,PB,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí),求△CAB的鉛垂高CD及S△CAB
(3)是否存在拋物線上一點(diǎn)P,使S△PAB=
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S△CAB?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若精英家教網(wǎng)不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

精英家教網(wǎng)閱讀材料:如圖1,過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線,外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a),中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”(h).我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法:S△ABC=
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ah,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.
解答下列問題:
如圖2,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)B為拋物線與y軸的交點(diǎn),求直線AB的解析式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)拋物線的對稱軸分別交AB、x軸于點(diǎn)D、M,連接PA、PB,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí),求△CAB的鉛垂高CD及S△CAB;
(4)在(2)的條件下,設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,△PAB的鉛垂高為h、面積為S,請分別寫出h和S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

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如圖1,過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線,外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a),中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法:S△ABC=
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ah
,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.
解答下列問題:精英家教網(wǎng)
如圖2,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(-1,-4),交x軸于點(diǎn)A(-3,0),交y軸于點(diǎn)B.
(1)求拋物線和直線AB的解析式;
(2)點(diǎn)P是拋物線(在第三象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PA,PB,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí),求△CAB的鉛垂高CD及S△CAB;
(3)是否存在一點(diǎn)P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

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如圖1,過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線,外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a),中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”(h).我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法:S△ABC=ah,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.

解答下列問題:
如圖2,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)B為拋物線與y軸的交點(diǎn),求直線AB的解析式;
(3)設(shè)點(diǎn)P是拋物線(第一象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是否存在一點(diǎn)P,使S△PAB=S△CAB?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010年安徽省巢湖市無為縣中考數(shù)學(xué)模擬試卷(解析版) 題型:解答題

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如圖1,過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線,外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a),中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法:
S△ABC=ah,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.
解答下列問題:
如圖2,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0),交y軸于點(diǎn)B.
(1)求拋物線和直線AB的解析式;
(2)點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PA,PB,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí),求△CAB的鉛垂高CD及S△CAB;
(3)是否存在一點(diǎn)P,使S△PAB=S△CAB?若存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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