Question

【題目】定義感知：我們把頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，且交于軸上同一點(diǎn)的兩條拋物線叫做“孿生拋物線”，該點(diǎn)叫“孿生拋物線”的“共點(diǎn)”．如圖所示的拋物線與是一對(duì)“孿生拋物線”，其“共點(diǎn)”為點(diǎn)．

初步運(yùn)用：

判斷下列論斷是否正確？正確的在題后橫線上打“√”，錯(cuò)誤的則打“”：

①“孿生拋物線”的“共點(diǎn)”不能分布在軸上．________

②“孿生拋物線”與的“共點(diǎn)”坐標(biāo)為．________

填空：拋物線的“孿生拋物線”的解析式為________．

延伸拓展：在平面直角坐標(biāo)系中，記“孿生拋物線”的兩頂點(diǎn)分別為，，且，其“共點(diǎn)”與，，三點(diǎn)恰好構(gòu)成一個(gè)面積為的菱形，試求該“孿生拋物線”的解析式．

Answer 1

【答案】√

【解析】

初步運(yùn)用：（1）由“孿生拋物線”的意義判斷即可，它們的共點(diǎn)在y軸，求出其坐標(biāo)；

（2）由“孿生拋物線”的頂點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，所以把解析式化成頂點(diǎn)式，求出其“孿生拋物線”；

延伸拓展：由于其“共點(diǎn)”A與M，M′，O三點(diǎn)恰好構(gòu)成一個(gè)面積為12的菱形，且MM′=4，①開口向上時(shí)，求出M（-2，3），M′（2，3），A（0，6），設(shè)出“孿生拋物線”把共點(diǎn)A（0，6）代入即可，②開口向下時(shí)，求出M（-2，-3），M′（2，-3），A（0，-6），設(shè)出“孿生拋物線”把共點(diǎn)A（0，-6）代入即可．

初步運(yùn)用：

（1）①∵把頂點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，且交于y軸上同一點(diǎn)的兩條拋物線叫做“孿生拋物線”，該點(diǎn)叫“孿生拋物線”的“共點(diǎn)”．

∴“孿生拋物線”的“共點(diǎn)”能分布在x軸上，

②∵交于y軸上同一點(diǎn)的兩條拋物線叫做“孿生拋物線”，該點(diǎn)叫“孿生拋物線”的“共點(diǎn)”，

∴“孿生拋物線”的“共點(diǎn)”在y軸上，

②“孿生拋物線”y=（x-2）2-9與y=（x+2）2-9

∴令x=0，y=5，

∴共點(diǎn)（0，5）

故答案為×，√

（2）∵拋物線y=-2x2-4x+5=-2（x2+2x）+5=-2（x+1）2+7，

∴它的“孿生拋物線”為y=-2（x-1）2+7=-2（x2-2x+1）+7=-2x2+4x+5，

故答案為y=-2x2+4x+5；

延伸拓展：由題意得，“孿生拋物線”有下面兩種情況：

①當(dāng)“孿生拋物線”的開口向上時(shí)，如圖1所示，

∵由于其“共點(diǎn)”A與M，M′，O三點(diǎn)恰好構(gòu)成一個(gè)面積為12的菱形，且MM′=4，

∴MM′×OA=12，

∴OA=6，

∴M（-2，3），M′（2，3），A（0，6），

由此可設(shè)“孿生拋物線”的解析式為：y=a（x+2）2+3與y=a（x-2）2+3，

∵點(diǎn)A（0，6）在“孿生拋物線”的圖象上，

∴6=a×22+3，

∴a=，

∴“孿生拋物線”的解析式為：y=（x+2）2+3與y=（x-2）2+3；

②當(dāng)“孿生拋物線”的開口向下時(shí)，如圖2所示，

∵由于其“共點(diǎn)”A與M，M′，O三點(diǎn)恰好構(gòu)成一個(gè)面積為12的菱形，且MM′=4，

∴MM′×OA=12，

∴OA=6，

∴M（-2，-3），M′（2，-3），A（0，-6），

由此可設(shè)“孿生拋物線”的解析式為：y=a（x+2）2-3與y=a（x-2）2-3，

∵點(diǎn)A（0，-6）在“孿生拋物線”的圖象上，

∴-6=a×22+3，

∴a=-，

∴“孿生拋物線”的解析式為：y=-（x+2）2+3與y=-（x-2）2+3；