【題目】已知在ABC中,ABAC在射線AC上取一點(diǎn)D,以D為頂點(diǎn)、DB為一條邊作∠BDF=∠A,點(diǎn)EAC的延長線上,∠ECF=∠ACB

(1)如圖(1),當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上時(shí),求證:①∠FDC=∠ABDDBDF

(2)如圖(2),當(dāng)點(diǎn)DAC的延長線上時(shí),請判斷DBDF是否相等,并說明理由

【答案】1)①證明見解析;②證明見解析;(2)相等,理由見解析.

【解析】

1)①利用外角定理及角的和差關(guān)系即可證明;

②過點(diǎn)D分別作DM垂直BCM ,DN垂直CFFC的延長線于N,先證明△DMC≌△DNC,再證明△DBM≌△DFN,最后利用全等的性質(zhì)即可得到結(jié)果;

2)過點(diǎn)D分別作DP垂直CFP ,DQ垂直BCBC的延長線于Q,先證明△DPC≌△DQC,再證明△DPF≌△DQB,最后利用全等的性質(zhì)即可得到結(jié)果.

1)證明:①∵∠BDC=A+ABD,∠BDC=BDF+FDC,且∠A=BDF,

∴∠FDC=ABD;

②過點(diǎn)D分別作DM垂直BCM ,DN垂直CFFC的延長線于N,

∴∠DMB=DMC=90°,∠DNC=DNF=90°,

∴∠DMC=DNC=90°

∵∠ECF=ACB,∠ECF=ACN (對頂角相等),

∴∠ACB=ACN

又∵CD=CD,

∴△DMC≌△DNC (AAS),

DM=DN,

AB=AC

∴∠ABC=ACB,

∴∠ABC=ECF

∵∠ECF=FDC+DFN,∠ABC=ABD+DBM

且由①知,∠FDC=ABD,

∴∠DBM=DFN,

又∵∠DMB=DNF=90°,

∴△DBM≌△DFN (AAS),

DB=DF

2)解:DB=DF,理由如下:

過點(diǎn)D分別作DP垂直CFP ,DQ垂直BCBC的延長線于Q

∴∠DPC=DPF=90°,∠DQC=DQB=90°

∴∠DPC=DQC=90°,∠DPF=DQB=90°,

∵∠ACB=DCQ (對頂角相等),∠ACB=ECF,

∴∠ECF=DCQ

CD=CD,

∴△DPC≌△DQC (AAS),

DP=DQ,

∵∠BDE=ABD+A,∠BDE=BDF+EDF,且∠BDF=A,

∴∠ABD=EDF,

AB=AC,

∴∠ABC=ACB,

∴∠ABC=ECF

∵∠ABD=ABC+DBQ,∠EDF=ECF+DFP

∴∠DBQ=DFP,

∴△DPF≌△DQB (AAS),

DB=DF.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O,過點(diǎn)ODEBC,分別交ABAC于點(diǎn)D、E,AB10AC6,求△ADE的周長.

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【題目】如圖,等邊,點(diǎn)為射線上一點(diǎn),延長至點(diǎn),使得,聯(lián)結(jié)并延長交射線于點(diǎn)。

1)當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí),如圖1,若,則

2)當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí),如圖2,若,則(1)的結(jié)論還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,寫出的數(shù)量關(guān)系并證明。

3)當(dāng)點(diǎn)在邊的延長線上時(shí),則(1)的結(jié)論還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,寫出的數(shù)量關(guān)系并證明。

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A(4,1)與正比例函數(shù)()的圖象相交于點(diǎn)B(,3),與軸相交于點(diǎn)C.

1)求一次函數(shù)和正比例函數(shù)的表達(dá)式;

2)若點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于軸的對稱點(diǎn),且過點(diǎn)D的直線DEACBOE,求點(diǎn)E的坐標(biāo);

3)在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn),使.若存在請求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在請說明理由.

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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,正方形的中心在原點(diǎn),且正方形的一組對邊與軸平行.點(diǎn)是反比例幽數(shù)的圖象上與正方形的一個(gè)交點(diǎn),若圖中陰影部分的面積等于,則的值為(

A. B. C. D.

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【題目】在一次蠟燭燃燒實(shí)驗(yàn)中,蠟燭燃燒時(shí)剩余部分的高度ycm)是燃燒時(shí)間xh 的一次函數(shù).某蠟燭的高度為30cm,燃燒3h后,蠟燭剩余部分的高度為12cm.

1)求蠟燭燃燒時(shí)y(cm)x(h)之間的函數(shù)表達(dá)式;

2)求出蠟燭從點(diǎn)燃到燃盡所用的時(shí)間.

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【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn),﹚,,﹚,交軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn)

求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;

連接,,求的面積;

根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的的取值范圍.

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【題目】定義感知:我們把頂點(diǎn)關(guān)于軸對稱,且交于軸上同一點(diǎn)的兩條拋物線叫做孿生拋物線,該點(diǎn)叫孿生拋物線共點(diǎn).如圖所示的拋物線是一對孿生拋物線,其共點(diǎn)為點(diǎn)

初步運(yùn)用:

判斷下列論斷是否正確?正確的在題后橫線上打“√”,錯(cuò)誤的則打”:

①“孿生拋物線共點(diǎn)不能分布在軸上.________

②“孿生拋物線共點(diǎn)坐標(biāo)為________

填空:拋物線孿生拋物線的解析式為________

延伸拓展:在平面直角坐標(biāo)系中,記孿生拋物線的兩頂點(diǎn)分別為,且,其共點(diǎn),三點(diǎn)恰好構(gòu)成一個(gè)面積為的菱形,試求該孿生拋物線的解析式.

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求該二次函數(shù)的關(guān)系式和頂點(diǎn)坐標(biāo);

結(jié)合圖象,解答下列問題:

①當(dāng)時(shí),求函數(shù)的取值范圍.

②當(dāng)時(shí),求的取值范圍.

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