Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過外一點(diǎn)引它的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，若，則稱為的環(huán)繞點(diǎn)．

（1）當(dāng)半徑為1時(shí)，

①在，，中，的環(huán)繞點(diǎn)是_______________；

②直線與軸交于點(diǎn)，軸交于點(diǎn)，若線段上存在的環(huán)繞點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）的半徑為1，圓心為，以為圓心，為半徑的所有圓構(gòu)成圖形，若在圖形上存在的環(huán)繞點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①P1，P3；②或；（2）-2＜t≤4

【解析】

（1）①如圖，PM，PN是⊙T的兩條切線，M，N為切點(diǎn)，連接TM，TN．當(dāng)∠MPN=60°時(shí)，可證TP=2TM，以T為圓心，TP為半徑作⊙T，首先說明：當(dāng)60°≤∠MPN＜180°時(shí)，⊙T的環(huán)繞點(diǎn)在圖中的圓環(huán)內(nèi)部（包括大圓設(shè)的點(diǎn)不包括小圓上的點(diǎn)）．利用這個(gè)結(jié)論解決問題即可．

②如圖2中，設(shè)小圓交y軸的正半軸與于E．求出兩種特殊位置b的值，結(jié)合圖形根據(jù)對稱性解決問題即可．

（2）如圖3中，不妨設(shè)E（m，m），則點(diǎn)E在直線y=x上，以E（m，m）（m＞0）為圓心，m為半徑的⊙E與x軸相切，作⊙E的切線ON，觀察圖象可知，以E（m，m）（m＞0）為圓心，m為半徑的所有圓構(gòu)成圖形H，圖形H即為∠MON的內(nèi)部，包括射線OM，ON上．利用（1）中結(jié)論，畫出圓環(huán)，當(dāng)圓環(huán)與∠MON的內(nèi)部有交點(diǎn)時(shí)，滿足條件，求出兩種特殊位置t的值即可解決問題．

（1）①如圖，PM，PN是⊙T的兩條切線，M，N為切點(diǎn)，連接TM，TN．

當(dāng)∠MPN=60°時(shí)，∵PT平分∠MPN，

∵∠TPM=∠TPN=30°，

∵TM⊥PM，TN⊥PN，

∴∠PMT=∠PNT=90°，

∴TP=2TM，

以T為圓心，TP為半徑作⊙T，

觀察圖象可知：當(dāng)60°≤∠MPN＜180°時(shí)，⊙T的環(huán)繞點(diǎn)在圖中的圓環(huán)內(nèi)部（包括大圓上的點(diǎn)不包括小圓上的點(diǎn)）．

如圖中，以O為圓心2為半徑作⊙O，觀察圖象可知，P1，P3是⊙O的環(huán)繞點(diǎn)，

故答案為P1，P3．

②如圖，設(shè)小圓交y軸的正半軸與于E．

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，b=1．

當(dāng)直線與大圓相切于K（在第二象限）時(shí)，連接OK，

由題意B（0，b），A（-2b，0），

∴OB=b，OA=2b，，

∵OK=2，ABOK=OAOB，

∴，

解得，

觀察圖象可知，當(dāng)時(shí)，線段AB上存在⊙O的環(huán)繞點(diǎn)，

根據(jù)對稱性可知：當(dāng)時(shí)，線段AB上存在⊙O的環(huán)繞點(diǎn)，

綜上所述，滿足條件的b的值為或；

（2）如圖3中，不妨設(shè)E（m，m），則點(diǎn)E在直線y=x上，

∵m＞0，

∴點(diǎn)E在射線OE上運(yùn)動(dòng)，作EM⊥x軸，

∵E（m，m），

∴OM=m，EM=，

∴以E（m，m）（m＞0）為圓心，m為半徑的⊙E與x軸相切，作⊙E的切線ON，觀察圖象可知，以E（m，m）（m＞0）為圓心，m為半徑的所有圓構(gòu)成圖形H，圖形H即為∠MON的內(nèi)部，包括射線OM，ON上．

當(dāng)⊙T的圓心在y軸的正半軸上時(shí)，假設(shè)以T為圓心，2為半徑的圓與射線ON相切于D，連接TD．

∵，

∴∠EOM=30°，

∵ON，OM是⊙E的切線，

∴∠EON=∠EOM=30°，

∴∠TOD=30°，

∴OT=2DT=4，

∴T（0，4），

當(dāng)⊙T的圓心在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，且經(jīng)過點(diǎn)O（0，0）時(shí)，T（0，-2），

觀察圖象可知，當(dāng)-2＜t≤4時(shí)，在圖形H上存在⊙T的環(huán)繞點(diǎn)．