Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，O為AB邊上一點(diǎn)，⊙O交AB于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，BC切⊙O于點(diǎn)D，且CD=$\frac{1}{2}$EF=1．
（1）求證：⊙O與AC相切；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OD，過點(diǎn)O作OH⊥AC于點(diǎn)H，先根據(jù)題意得出四邊形OHCD是矩形，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）直接根據(jù)S_陰影=S_{正方形ODCH}-S_扇形ODH即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OD，過點(diǎn)O作OH⊥AC于點(diǎn)H，
∵BC是⊙O的切線，
∴OD⊥BC．
∵∠C=90°，
∴∠OHC=∠ODC=∠C=90°，
∴四邊形OHCD是矩形．
∵CD=$\frac{1}{2}$EF，
∴OH=$\frac{1}{2}$EF=OE．
∵OH⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；

（2）解：∵OD=$\frac{1}{2}$EF=1，CD=1，∠DOH=90°，
∴S_陰影=1×1-$\frac{90π×{1}^{2}}{360}$=1-$\frac{1}{4}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是切線的判定與性質(zhì)，熟知切線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．