Question

（1997•貴陽）如圖，已知四邊形BCDE是⊙O的內接四邊形，又是⊙H的外切四邊形，P、N、M、G為切點，BE、CD的延長線交于A點，若AP＞BC，且AP，BC的長為方程x²-25x+150=0的兩個根．求DE的長．

Answer 1

分析：先求出方程的根，得出AP、BC的長，利用切線的性質分別得出△AED及△ABC的周長，判斷出△ABC∽△ADE，繼而可得

△ABC的周長

△ADE的周長

=

BC

DE

，代入即可得出DE的長度．

解答：解：x²-25x+150=0，
解得：x₁=15，x₂=10，
∵AP＞BC，且AP，BC的長為方程x²-25x+150=0的兩個根，
∴AP=15，BC=10，
∵⊙H與AB，BC，AC切于P、N、M點，
∴BN=BP，CN=CM，
∴BP+CM+BC=2BC=20，
∴△ABC的周長為50，
又∵EP，EG，DG，DM為⊙H的切線，
∴EP=EG，DG=DM，
∴AE+EG+GD+AD=2AP，
∴△AED的周長為30，
∵四邊形BCDE是⊙O的內接四邊形，
∴∠ADE=∠B，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE，
∴

△ABC的周長

△ADE的周長

=

BC

DE

=

10

DE

=

50

30

，
解得：DE=6．
答：DE的長為6．

點評：本題屬于圓的綜合題，涉及了切線的性質、相似三角形的判定與性質，綜合性較強，注意掌握相似三角形的周長之比等于兩三角形的相似比，難度較大．