Question

【題目】如圖1，已知拋物線與軸交于點和點，與軸交于點.

（l）求拋物線的表達式；

（2）如圖l，若點為第二象限拋物線上一動點，連接，求四邊形面積的最大值，并求此時點的坐標；

（3）如圖2，在軸上是否存在一點使得為等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為，點坐標為；（3）存在符合條件的點，其坐標為或，或或

【解析】

（1）將點A、B的坐標代入解析式即可得到答案；

（2）設，過點作軸于點，利用求出解析式即得到面積的最大值及點E的坐標；

（3）存在，分以點C、A為頂點及線段AC為底邊三種情況，分別求出點D的坐標即可.

解：（1）由題知：

，解得：

∴所求拋物線表達式為

（2）過點作軸于點

設

∴，，，

∴

∴當時，最大，且最大值為.

當時，

此時，點坐標為

（3）連接

①當點為頂點，時，此時為底邊的垂直平分線，

滿足條件的點，與點關于軸對稱，

∴點坐標為

②當點為頂點，時，在中，

∵，，由勾股定理得：，

以點為圓心，的長為半徑作弧，交軸于兩點，即為滿足條件的點，

此時它們的坐標分別為，

③當為底邊時，線段的垂直平分線與軸的交點，即為滿足條件的點，

設垂直的垂直平分線交軸于點，過中點，

∵，

∴

∴

∴，，

，，，

點的坐標為

綜上所述存在符合條件的點，其坐標為或，或或