Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于A、B兩點（A點在B點左側），與軸交于點C，連接BC、AC，tan∠OCB -tan∠OCA=1，OB=4OA.

（1）求和b的值；

（2）點E在線段BC上，點F在BC的延長線上，且BE=CF，點D是直線BC下方拋物線上一點，當△EDF是以EF為斜線的直角三角形，且4ED=3FD時，求D點坐標；

（3）在（2）的條件下，過點A作AG⊥軸，R為拋物線上CD段上一點，連接AR，點K在AR上，連接DK并延長交AG于點G，連接DR，且2∠RDK+∠RKD=90°，∠GAR=∠RDK，若點M（）w為坐標平面內一點，直線MD與直線BC交于點N，當MN=DN時，求△MRD的面積.

Answer 1

【答案】(1) (2) D（2， ）(3)

【解析】試題分析：（1）先求得點C的坐標，然后設OA=n ，則OB=4n，根據tan∠OCB -tan∠OCA=1，求得n的值，從而求得A、B的坐標，利用待定系數法即可求得a、b的值；

（2）證明△EDF≌△OCB，從而得DE=OC=3，利用待定系數法求得BC的解析式，設點D的橫坐標為t，則D（），E（），再根據DE=3即可求得t的值，從而求得點D（2， ）；

（3）作MP∥y軸，DQ∥y軸，由（2）可知DE∥y軸，從而可得∠PMN=∠QDN，證明△MNP≌△DNQ，從而得MP=3，再根據M（，-），P（， ），求得=，得到M（， ），延長DR交y軸于W，可求得R（1，-），從而可得=.

試題解析：（1）令x=0，∴y=-3，∴C（0，-3），∴OC=3，

設OA=n ，則OB=4n，

∵tan∠OCB -tan∠OCA=1，

∴=1， ∴=1， ∴n=1，

∴OB=4，∴OA=1，

∴A（-1，0），B（4，0）代入中，

， ∴；

（2）∵4ED=3FD， ∴，由（1）可知：tan∠ABC=，

∴tan∠EFD=tan∠ABC= ，∴∠EFD=∠ABC，

∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC ，∴BC=EF，

又∵∠BOC=∠EDF=90°，∴△EDF≌△OCB，

∴DE=OC=3，

設直線BC的解析式為y=kx+b，過B（4，0），C（0，-3），

∴ ， ∴BC的解析式為，

設點D的橫坐標為t，則D（），E（），

∴DE= -3-（）=3，

∴t=2

∴D（2， ）；

（3）作MP∥y軸，DQ∥y軸，

由（2）可知DE∥y軸，

∴MP∥DQ，

∴∠PMN=∠QDN，

∴E、Q為同一點，

∴DQ=DE=3，

∵MN=ND，∠MNP=∠DNQ，

∴△MNP≌△DNQ，

∴MP=3，

∵M（，-），P（， ），

∴（）=3，

∴=，

∴M（， ），

延長DR交y軸于W，

設∠RDK= ，則∠RKD=90°-2，

∴∠ARW=90°- ，

∵∠GAR=∠RDK= ，

∴∠AWR=90° ，∴DR⊥x軸，

∴R（1，-），

∴×（）=.