Question

24、在比較a^a+1和（a+1）^a的大小時（a是自然數(shù)），我們從分析a=1，a=2，a=3…這些簡單情況入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，再得出結(jié)論．
（1）①1²

＜

2¹，②2³

＜

3²，③3⁴

＞

4³，④4⁵

＞

5⁴，…
（2）從第（1）題結(jié)果歸納，可猜出a^a+1和（a+1）^a的大小關(guān)系是怎樣的？
（3）請比較一下2008²⁰⁰⁹與2009²⁰⁰⁸的大小．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)有理數(shù)乘方的定義求出各數(shù)的值，再根據(jù)有理數(shù)大小的比較法則進行比較；
（2）根據(jù)（1）中有理數(shù)的大小總結(jié)出規(guī)律；
（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律直接得出結(jié)論．

解答：解：（1）①∵1²=1，2¹=2，
∴1²＜2¹；
②∵2³=8，3²=9，
∴2³＜3²；
③∵3⁴=81，4³=48，
∴3⁴＞4³；
④∵4⁵=1024，5⁴=625，
∴4⁵，＞5⁴．
故答案為：＜，＜，＞，＞；（4分）
（2）由（1）可知，
當1≤a≤2時（或a=1或2時），a^a+1＜（a+1）^a，（6分）
當a＞2時，a^a+1＞（a+1）^a；（8分）
（3）∵a=2008＞2，
∴2008²⁰⁰⁹＞2009²⁰⁰⁸．（10分）

點評：本題考查的是有理數(shù)的大小比較及有理數(shù)的乘方，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)有理數(shù)比較大小的法則比較出（1）中各數(shù)的大小，總結(jié)出規(guī)律．