Question

（2006•嘉興）如圖，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90度．O是AB的中點(diǎn)，⊙O與AC相切于點(diǎn)D、與BC相切于點(diǎn)E．設(shè)⊙O交OB于F，連DF并延長交CB的延長線于G．
（1）∠BFG與∠BGF是否相等？為什么？
（2）求由DG、GE和弧ED所圍成圖形的面積．（陰影部分）

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD．根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥AC，則OD∥BC；可得∠ODF=∠G，再結(jié)合對頂角相等和等邊對等角得到∠BFG=∠BGF．
（2）陰影部分的面積=直角三角形CDG的面積-（正方形的面積-扇形ODE的面積）．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出有關(guān)邊AB、OD的長，以及圓心角∠DOE的度數(shù)．進(jìn)而可根據(jù)扇形的面積和直角三角形的面積求得陰影部分的面積．
解答：解：（1）∠BFG=∠BGF；理由如下：
連OD，
∵OD=OF（⊙O的半徑），
∴∠ODF=∠OFD；
∵⊙O與AC相切于點(diǎn)D，∴OD⊥AC；
又∵∠C=90°，即GC⊥AC，∴OD∥GC，
∴∠BGF=∠ODF；
又∵∠BFG=∠OFD，
∴∠BFG=∠BGF．

（2）連OE，
∵⊙O與AC相切于點(diǎn)D、與BC相切于點(diǎn)E，
∴DC=CE，OD⊥AC，OE⊥BC，
∵∠C=90°，
∴四邊形ODCE為正方形，
∵AO=BO=AB==3，
∴OD=BC=×6=3，
∵∠BFG=∠BGF，
∴BG=BF=OB-OF=3-3；
從而CG=CB+BG=3+3；
∴S_陰影=S_△DCG-S_{正方形ODCE}+S_扇形ODE
=S_△DCG-（S_{正方形ODCE}-S_扇形ODE）
=•3•（3+3）-（3²-π•3²）
=．
點(diǎn)評：此題綜合考查了切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及扇形的面積計(jì)算方法．