Question

已知，在△ABC中，AB=AC，在圖（1）中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)，而在圖（2）中，點(diǎn)O是△ABC外的任意一點(diǎn)．在兩圖中，分別以O(shè)B，OC為邊畫出平行四邊形OBDC，連接并延長OA到E，使得AE=OA，再連接DE．觀察兩圖，寫出與線段DE有關(guān)的兩個猜想，并在其中的一個圖形中給出證明．（要求：在猜想中不能出現(xiàn)已知中未標(biāo)的字母．）

Answer 1

分析：在連接OD、AF后，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，F(xiàn)點(diǎn)就是OD的中點(diǎn)，AF就是等腰三角形底邊上的高，由OA=AE知，AF連線時(shí)三角形OED的中位線，根據(jù)中位線性質(zhì)可得DE⊥BC以及DE的長是△ABC底邊BC上高的2倍．

解答：解：猜想1：DE⊥BC；
猜想2：DE的長是△ABC底邊BC上高的2倍．

證明：（1）連接OD交BC于點(diǎn)F，連接AF，
∵四邊形OBDC為平行四邊形，
∴BF=CF，
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
∵OA=AE，OF=DF，
∴AF∥DE，
∴DE⊥BC；
證明：在圖（2）中，連接OD交BC于點(diǎn)F，連接AF，
∵四邊形OBDC為平行四邊形，
∴BF=CF，OF=DF，
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
∵AE=OA，
∴AF=

1

2

DE，AF∥DE，
∴DE⊥BC，DE=2AF，
即DE⊥BC，DE的長是△ABC底邊BC上高的2倍．

點(diǎn)評：此題在考查平行四邊形性質(zhì)的同時(shí)，更重要的是考查了三角形中位線的性質(zhì)和應(yīng)用，難易適中．