Question

【題目】將一個(gè)矩形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)E，F分別在邊，上．沿著折疊該紙片，使得點(diǎn)A落在邊上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，如圖①．再沿折疊，這時(shí)點(diǎn)E恰好與點(diǎn)C重合，如圖②．

（Ⅰ）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（Ⅱ）將該矩形紙片展開，再折疊該矩形紙片，使點(diǎn)O與點(diǎn)F重合，折痕與相交于點(diǎn)P，展開矩形紙片，如圖③．

①求的大小；

②點(diǎn)M，N分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①，②

【解析】

（Ⅰ）由翻折的性質(zhì)可知，，，再由正方形的性質(zhì)和勾股定理可得OE，繼而即可求解；

（Ⅱ）①連接，由題意和（Ⅰ）可知，而，，由等角對(duì)等邊可知，，設(shè)，則，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)可知即，把x代入列出方程，解方程求出，根據(jù)相似三角形的判定可證, ，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等和三角形內(nèi)角和即可求解；

②利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等這一性質(zhì)可判斷M、N的位置，進(jìn)而根據(jù)題意即可求解．

解：（Ⅰ）∵點(diǎn)，∴．

由兩次折疊可知，，．

∴是正方形．∴．

在中，．

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

（Ⅱ）①如圖③，連接，由和（Ⅰ）可知，

，而，

，

故，．

設(shè)，則，

由即，

得，解得．

所以．則有．

得．又，則，

即．

②如圖④所示，過點(diǎn)P作⊥OC于點(diǎn)，交OF于點(diǎn)M，作關(guān)于OF的對(duì)稱點(diǎn)N，連接MN，此時(shí)取得最小值時(shí)，且，

過點(diǎn)N作NG⊥x軸于點(diǎn)G，

∵由（Ⅱ）知，∠AOE＝45°,

∴∠NOG＝90°－45°＝45°

∴OG＝NG＝．

∴．