Question

已知：0＜a＜b＜c，實(shí)數(shù)x、y滿足2x+2y=a+b+c，2xy=ac，且x＜y．求證：0＜x＜a，b＜y＜c．

Answer 1

分析：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到x，y可看作方程t²-

a+b+c

2

t+

ac

2

=0的兩實(shí)根，然后設(shè)函數(shù)S=t²-

1

2

（a+b+c）t+

1

2

ac，建立二次函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)自變量分別為0、a、b、c時(shí)求出對應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)0＜a＜b＜c可判斷這些函數(shù)值的正負(fù)，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想可畫出函數(shù)的大致圖象，可得到拋物線與x軸的交點(diǎn)的大致位置，從而得到結(jié)論．

解答：證明：∵2x+2y=a+b+c，2xy=ac，
∴x+y=

a+b+c

2

，xy=

ac

2

，
∴x，y可看作方程t²-

a+b+c

2

t+

ac

2

=0的兩實(shí)根，
設(shè)函數(shù)S=t²-

1

2

（a+b+c）t+

1

2

ac，
①當(dāng)t=0時(shí)，S=

1

2

ac＞0；
②當(dāng)t=a時(shí)，S=a²-

a+b+c

2

•a+

ac

2

=

1

2

a（a-b），
而0＜a＜b，
∴S=

1

2

a（a-b）＜0；
③當(dāng)t=b時(shí)，S=b²-

1

2

（a+b+c）b+

1

2

ac=

1

2

（b-a）（b-c），
∵0＜a＜b＜c，
∴S=

1

2

（b-a）（b-c）＜0，
④當(dāng)t=c時(shí)，S=

1

2

c（c-b）＞0，
可知函數(shù)S=t²-

1

2

（a+b+c）t+

1

2

ac的圖象與t軸的兩個交點(diǎn)分別在0，a和b，c之間，如圖，
∴方程t²-

a+b+c

2

t+

ac

2

=0的兩根分別在0，a之間的和b，c之間，
即0＜x＜a，b＜y＜c．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：建立二次函數(shù)的關(guān)系，通過二次函數(shù)的性質(zhì)和幾個點(diǎn)的坐標(biāo)大致畫出拋物線，然后利用二次函數(shù)的圖象確定拋物線與x軸的交點(diǎn)的大致位置．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．