Question

（2010•鄂州）工程師有一塊長(zhǎng)AD為12分米，寬AB為8分米的鐵板，截去了長(zhǎng)AE=2分米，AF=4分米的直角三角形，在余下的五邊形中結(jié)的矩形MGCH，M必須在線段EF上．
（1）若截得矩形MGCH的面積為70平方分米，求矩形MGCH的長(zhǎng)和寬．
（2）當(dāng)EM為多少時(shí)，矩形MGCH的面積最大？并求此時(shí)矩形的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）作MN⊥AE，設(shè)矩形的長(zhǎng)為x，寬為y由“”和“S=xy”求得長(zhǎng)和寬；
（2）設(shè)EM長(zhǎng)為a，矩形MGCH的面積用MH、MG表示，由比值關(guān)系把S表示為a的函數(shù)式，求得最大值．
解答：解：（1）作MN⊥AE，設(shè)矩形的長(zhǎng)為x分米，寬為y分米；
∵M(jìn)N⊥AE，
∴MN∥AF，
∴△EMN∽△EFA
∴
又∵M(jìn)N=AD-x=12-x
NE=y-（AB-AE）=y-6
AF=4，AE=2
，
S=xy=70
解得：x=10，y=7
答：矩形MGCH的長(zhǎng)和寬分別為10分米和7分米．

（2）設(shè)EM長(zhǎng)為a，△EMN∽△EFA，，
EF==2，MN=，NE=，
MH=AD-MN=12-，MG=BE+EN=AB-AE+EN=6+
∴S=MH×MG
=（12-）×（ 6+）
=
由此，a=0時(shí)，面積最大即M點(diǎn)與E點(diǎn)重合．
此時(shí)的周長(zhǎng)L=2MH+2MG=36分米．
答：當(dāng)EM為0時(shí)，矩形MGCH的面積最大，并求此時(shí)矩形的周長(zhǎng)為36分米．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了我們由幾何關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系并求最值的能力．