Question

【題目】等腰△ABD中，AD=BD，將△ABD繞腰BD的中點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，得到△CDB，CE平分∠BCD交BD于點(diǎn)E，在BC的延長線上取點(diǎn)F，使CF=DE，連接EF交CD于點(diǎn)G．

（1）如圖1，∠A=60°，AB=4，求CF的長；

（2）如圖2，求證：DE=2CG．

Answer 1

【答案】（1）CF=2；（2）詳見解析

【解析】

（1）先證明△ABD是等邊三角形，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△CBD是等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)即可得到CF的長；

（2）過點(diǎn)E作EM∥BC，交CD于點(diǎn)M，利用平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)得到DE=EM=CF，由此證明△EMG≌△FCG，再利用角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

（1）解：∵AD=BD，∠A=60°

∴△ABD是等邊三角形

∴∠ADB=60°，BD =4

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，得△ABD≌△CDB

∴△CBD是等邊三角形

且CE平分∠BCD

∴BE=DE=2

∵CF=DE

∴CF=2

(2)過點(diǎn)E作EM∥BC，交CD于點(diǎn)M，

∴∠DME=∠DCB, ∠MEG=∠F, ∠ECB=∠MEC，

∵BD=CB，

∴∠BDC=∠BCD=∠DME，

∴DE=EM=CF，

在△EMG和△FCG中

，

∴△EMG≌△FCG，

∴MG=CG，

∵CE平分∠BCD，

∴∠ECB=∠ECM=∠MEC，

∴EM=MC=2CG，

∴DE=2GC.