Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，⊙O的割線PDE垂直于AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，∠A=∠BCP．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若點(diǎn)C在劣弧

AD

上運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，問(wèn)應(yīng)再具備什么條件可使結(jié)論BG²=BF•BO成立？（要求畫(huà)出示意圖并說(shuō)明理由）
（3）在滿(mǎn)足問(wèn)題（2）的條件下，你還能推出哪些形如BG²=BF•BO的正確結(jié)論？（要求：不再標(biāo)注其他字母，找結(jié)論的過(guò)程中所作的輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫(xiě)推理過(guò)程，寫(xiě)出不包括BG²=BF•BO的7個(gè)結(jié)論）

Answer 1

分析：（1）證PC是⊙O的切線，即證∠OCP=90°，而∠OCP=∠BCP+∠OCB=∠A+∠OBC，因?yàn)锳B為直徑，直徑所對(duì)的圓周角為直角，即可證明．
（2）BG²=BF•BO要成立，Rt△BFG和Rt△BGO必須相似，而他們已經(jīng)共用了一角B，所以如果相似，則必有∠BFG=∠BGO=90°，根據(jù)垂徑定理，G點(diǎn)必在BC中點(diǎn)處．
（3）在（2）成立的前提下，只要找出一組組的相似三角形，就可以進(jìn)行解答．

解答：（1）證明：連接OC
∵OA=OC
∴∠A=∠OCA
∵AB為直徑
∴∠OCA+∠OCB=90°
∴∠OCP=∠BCP+∠OCB=90°
即PC是⊙O的切線．

（2）解：添加條件為：G為BC的中點(diǎn)．
連接OG
∵G為BC的中點(diǎn)
∴OG⊥BC又FG⊥BO
∴Rt△BFG∽R(shí)t△BGO
∴

BG

BO

=

BF

BG

即BG2=BF•BO

（3）解：①CG²=BF•BD
②EF²=AF•FB
③PC²=PD•PE
④PG²=PD•PE
⑤CG²=DG•GE
⑥D(zhuǎn)F²=AF•FB
⑦FG²=OF•FB

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定及切線判定的理解及運(yùn)用．