【題目】綜合與實踐
背景閱讀 早在三千多年前,我國周朝數(shù)學(xué)家商高就提出:將一根直尺折成一個直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三,股四,弦五”.它被記載于我國古代著名數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.為了方便,在本題中,我們把三邊的比為3:4:5的三角形稱為(3,4,5)型三角形.例如:三邊長分別為9,12,15或的三角形就是(3,4,5)型三角形.用矩形紙片按下面的操作方法可以折出這種類型的三角形.
實踐操作 如圖1,在矩形紙片ABCD中,AD=8cm,AB=12cm.
第一步:如圖2,將圖1中的矩形紙片ABCD沿過點A的直線折疊,使點D落在AB上的點E處,折痕為AF,再沿EF折疊,然后把紙片展平.
第二步:如圖3,將圖2中的矩形紙片再次折疊,使點D與點F重合,折痕為GH,然后展平,隱去AF.
第三步:如圖4,將圖3中的矩形紙片沿AH折疊,得到△AD′H,再沿AD′折疊,折痕為AM,AM與折痕EF交于點N,然后展平.
問題解決
(1)請在圖2中證明四邊形AEFD是正方形.
(2)請在圖4中判斷NF與ND′的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
(3)請在圖4中證明△AEN是(3,4,5)型三角形.
探索發(fā)現(xiàn)
(4)在不添加字母的情況下,圖4中還有哪些三角形是(3,4,5)型三角形?請找出并直接寫出它們的名稱.
【答案】(1)證明見解析;(2)NF=ND′,證明見解析;(3)證明見解析;(4)△MFN,△MD′H,△MDA.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)題中所給(3,4,5)型三角形的定義證明即可;
(2)NF=ND′,證明Rt△HNF≌Rt△HND′即可;
(3)根據(jù)題中所給(3,4,5)型三角形的定義證明即可;
(4)由△AEN是(3,4,5)型三角形,凡是與△AEN相似的△都是(3,4,5)型三角形.
試題解析:(1)∵四邊形ABCD是矩形,∴∠D=∠DAE=90°.由折疊知:AE=AD,∠AEF=∠D=90°,∴∠D=∠DAE=∠AEF=90°,∴四邊形AEFD是矩形.∵AE=AD,∴矩形AEFD是正方形.
(2)NF=ND′.證明如下:
連結(jié)HN.由折疊知:∠AD′H=∠D=90°,HF=HD=HD′.
∵四邊形AEFD是正方形,∴∠EFD=90°.
∵∠AD′H=90°,∴∠HD′N=90°.
在Rt△HNF和Rt△HND′中,∵HN=HN,HF=HD′,∴Rt△HNF≌Rt△HND′,∴NF=ND′.
(3)∵四邊形AEFD是正方形,∴AE=EF=AD=8cm,由折疊知:AD′=AD=8cm,EN=EF-NF=(8-x)㎝.
在Rt△AEN中,由勾股定理得: ,即,解得:x=2,∴AN=8+x=10(㎝),EN=6(㎝),∴AN=6:8:10=3:4:5,∴△AEN是(3,4,5)型三角形.
(4)∵△AEN是(3,4,5)型三角形,凡是與△AEN相似的△都是(3,4,5)型三角形,故答案為:△MFN,△MD′H,△MDA.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】要反映2010﹣2018年常德市學(xué)生人數(shù)的變化情況最適合使用的統(tǒng)計圖是( )
A. 復(fù)式圖B. 條形圖C. 扇形圖D. 折線圖
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,動點P從點B出發(fā),沿射線BC的方向以每秒2cm的速度運動,動點Q從點A出發(fā),在線段AD上以每秒lcm的速度向點D運動,點P,Q分別從點B,A同時出發(fā),當(dāng)點Q運動到點D時,點P隨之停止運動,設(shè)運動的時間為t(秒).
(1)當(dāng)t為何值時,四邊形PQDC是平行四邊形.
(2)當(dāng)t為何值時,以C、D、Q、P為頂點的梯形面積等于60cm2?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校舉行了主題為“讓歷史照亮未來”的演講比賽,其中代表七、八年級參賽的兩隊各10人的比賽成績?nèi)缦卤恚?0分制):
七年級隊 | 7 | 8 | 9 | 7 | 10 | 10 | 9 | 10 | 10 | 10 |
八年級隊 | 10 | 8 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 | 9 | 10 | 9 |
(1)請直接寫出七年級隊成績的中位數(shù)為 , 八年級隊成績的眾數(shù)為;
(2)若七、八年級隊的平均成績均為9分,請分別計算七、八年級隊的方差.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正比例函數(shù)y=2x和反比例函數(shù)的圖象交于點A(m,﹣2)
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若雙曲線上一點C(2,n)沿OA方向平移 個單位長度到達(dá)點B(如圖),連接AB、OC,則線段AB與OC的關(guān)系是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,將點A(﹣5,﹣3)向右平移8個單位長度得到點B,則點B關(guān)于y軸的對稱點C的坐標(biāo)是_____.
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