Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，以O(shè)B為半徑的⊙O的圓心在邊AB上，⊙O與AB相交于點(diǎn)E，與AC相切于點(diǎn)D，已知AD=8，CD=12

(1)求BC及AB的長              (2)求證DE//OC   
(3)求半徑OB及線段AE的長       (4)求OC的長

Answer 1

（1）BE=12，AB=16（2）證明見解析（3）6,4（4）

①BE=12 （1分）
AB=16
②∠1=（用△BOC與△DOC全等 得出∠1=∠2）
∠4=
∴∠1=∠4    ∴OC∥DE (6分)
③利用△AOD∽△ACB
        OD=6    (9分)
AE=16-6×2=4   (10分)
④ （12分）
（1）根據(jù)切線長定理得到BC=CD=12；在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AB；
（2）⊙O與AB相交于點(diǎn)B，與AC相切于點(diǎn)D，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB⊥BC，OD⊥AC，易證得Rt△OBC≌Rt△ODC，則∠BOC=∠DOC，再利用三角形外角性質(zhì)得到∠BOD=∠ODE+∠OED，而∠ODE=∠OED，則∠OBC=∠OED，根據(jù)平行線的判定即可得到結(jié)論；
（3）易證Rt△AOD∽R(shí)t△ACB，則OD：BC=AD：AB，即OD：8=12：16，可得到OD=6，即可得到OB，由AE=AB-2OB可計(jì)算出AE的長；
（4）在Rt△OBC中利用勾股定理即可計(jì)算出OC的長．