【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為(m,m),點B的坐標(biāo)為(n,﹣n),拋物線經(jīng)過A、O、B三點,連接OA、OB、AB,線段AB交y軸于點C.已知實數(shù)m、n(m<n)分別是方程x2﹣2x﹣3=0的兩根.

(1)求直線AB和OB的解析式.
(2)求拋物線的解析式.
(3)若點P為線段OB上的一個動點(不與點O、B重合),直線PC與拋物線交于D、E兩點(點D在y軸右側(cè)),連接OD、BD.問△BOD的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值并寫出此時點D的坐標(biāo);若不存在說明理由.

【答案】
(1)解:解方程x2﹣2x﹣3=0,

得 x1=3,x2=﹣1.

∵m<n,

∴m=﹣1,n=3

∴A(﹣1,﹣1),B(3,﹣3).

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b

,

解得: ,

所以直線AB的解析式為y=﹣ x﹣ ;

設(shè)直線OB的解析式為y=kx,

∴3k=﹣3,

解得:k=﹣1,

∴直線OB的解析式為y=﹣x


(2)解:∵拋物線過原點,設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx(a≠0).

解得: ,

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x


(3)解:△BOD的面積是存在最大值;

過點D作DG⊥x軸,垂足為G,交OB于Q,過B作BH⊥x軸,垂足為H.

設(shè)Q(x,﹣x),D(x,﹣ x2+ x).

S△BOD=S△ODQ+S△BDQ= DQOG+ DQGH,

= DQ(OG+GH),

= [x+(﹣ x2+ x)]×3,

=﹣ (x﹣ )2+ ,

∵0<x<3,

∴當(dāng)x= 時,S取得最大值為 ,此時D( ,﹣


【解析】(1)首先解方程得出A,B兩點的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法確定直線AB和直線OB的解析式即可;(2)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可;(3)利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出關(guān)于x的二次函數(shù),進(jìn)而得出最值即可.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】為了了解某校學(xué)生對以下四個電視節(jié)目:最強(qiáng)大腦中國詩詞大會、朗讀者、出彩中國人的喜愛情況,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,要求每名學(xué)生選出并且只能選出一個自己最喜愛的節(jié)目,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

請你根據(jù)圖中所提供的信息,完成下列問題:

本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為______;

在扇形統(tǒng)計圖中,A部分所占圓心角的度數(shù)為______;

請將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;

若該校共有3000名學(xué)生,估計該校最喜愛中國詩詞大會的學(xué)生有多少名.

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【題目】如圖,都是直角.

如圖1,如果,求的度數(shù);

找出圖1中相等的銳角,并說明相等的理由;

在圖2中,利用三角板畫一個與相等的角.

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【題目】如圖,直線y= x+4交于x軸于點A,交y軸于點C,過A、C兩點的拋物線F1交x軸于另一點B(1,0).

(1)求拋物線F1所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點Q的坐標(biāo);
(2)在拋物線上是否存在點P,使△BPC的內(nèi)心在y軸上,若存在,求出點P的坐標(biāo),若不存在寫出理由;
(3)直線y=kx﹣6與y軸交于點N,與直線AC的交點為M,當(dāng)△MNC與△AOC相似時,求點M坐標(biāo).

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【題目】觀察下面一列有序數(shù)對:(1,1)(1,2),(2,1)(1,3),(2,2)(3,1),(1,4)(2,3),(3,2),(4,1),(1,5)(2,4),,按這些規(guī)律,第50個有序數(shù)對是(  )

A. (3,8)B. (4,7)C. (5,6)D. (6,5)

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【題目】如圖,經(jīng)過坐標(biāo)原點的拋物線C1:y=ax2+bx與x軸的另一交點為M,它的頂點為點A,將C1繞原點旋轉(zhuǎn)180°,得到拋物線C2 , C2與x軸的另一交點為N,頂點為點B,連接AM,MB,BN,NA,當(dāng)四邊形AMBN恰好是矩形時,則b的值( )

A.2
B.﹣2
C.2
D.﹣2

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【題目】勾股定理神秘而美妙,它的證法多樣,其巧妙各有不同,其中的面積法給了小聰以靈感.他驚喜的發(fā)現(xiàn):當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時,都可以用面積法來證明.下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程:

(1)將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放,其中∠DAB90°.求證:a2b2c2.

(2)請參照上述證法,利用圖2完成下面的證明.

將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放,其中∠DAB90°.

求證:a2b2c2.

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