Question

如圖，直角梯形OABC，A（7，0），C（0，4），AB=5，動點P以每秒1個單位的速度沿C-O-A的折線運動，直線MQ始終與x軸垂直，且同時從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿A-O平移，與折線ABC交于點Q，與x軸交于點M，P、M中有一個到達終點，另一個隨即而停止，運動的時間為t（秒）
（1）求：點B的坐標；
（2）設△CPQ的面積為S，求：S與t的函數關系式，并求出S的最大值；
（3）若動線段PQ的中點N的坐標為（x，y），在0≤t≤3范圍內求出y與x的函數關系式和動點N走過的路程．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：

分析：（1）作BD⊥OA，垂足為點D，由勾股定理求得AD的長，直接寫出點B的坐標；
（2）分情況探討△CPQ的面積：點P在CO上運動和點P在OA上運動，分別用用t表示三角形的面積求出答案；
（3）求出過AB兩點的直線，進一步用t和中點坐標表示出（x，y），求出y與x的函數關系式，再進一步利用勾股定理解決問題．

解答：解：（1）如圖，作BD⊥OA，垂足為點D，

由C（0，4）可知BD=4，
AD=

52-42

=3，
∴OD=4，
點B坐標為（4，4）．
（2）分兩種情況探討，
①當P在CO上運動，如圖

0＜t≤4時，
S_△CPQ=

1

2

t（7-t）
=-

1

2

（t-

7

2

）²+

49

8

；
△CPQ的面積最大為

49

8

．
②當P在AO上運動，如圖
S=

1

2

（7-t）•4=-2t+

7

2

高為4，當t=3時，
△CPQ的面積最大，
S_△CPQ=

1

2

×4×3=6；
由以上可知△CPQ的面積最大為

49

8

．
（3）如圖

作AD⊥CB的延長線于D，
∵A（7，0），C（0，4），AB=5
∴AD=4
∴BD=

AB2-AD2

=3
∴B（4，4）
根據A（7，0），B（4，4）可求出直線AB的解析式為：y=-

4

3

x+

28

3

又0≤t≤3，
∴PQ的運動范圍在AB之間且從點A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿AO平移
∴在t時AM=t
∴M（7-t，0）
將x=7-t代入y=-

4

3

x+

28

3

解得：y=

4

3

t
∴Q（7-t，

4

3

t）
在t時，CP=t
∴P（0，4-t）
設PQ的中點N的坐標為（x，y），則有：
x=

7-t+0

2

，得t=7-2x（2≤x≤

7

2

）
y=

4 3 t+4-t

2

，得t=6y-12；
∴7-2x=6y-12
整理后得：y=-

1

3

x+

19

6

（2≤x≤

7

2

）；
當t=0時x=

7

2

，y=2；
當t=3時x=2，y=

5

2

∴動點N走過的路程=

(2- 7 2 )2+( 5 2 -2)2

=

10

2

．

點評：此題綜合考查了一次函數、勾股定理以及求中點坐標的運用來解決一次函數的動點問題．