Question

（2012•柳州一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)D是該拋物線在第一象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，求當(dāng)四邊形ABDC面積最大時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)D的直線與過B、C兩點(diǎn)的直線平行，證明直線與過A、B、C三點(diǎn)的拋物線只有一個交點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線圖象上三個不同點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定該函數(shù)的解析式．
（2）由圖象不難看出，△ABC的面積是一定的，所以只需看△CBD的面積和點(diǎn)D的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系；過點(diǎn)D作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)F，已知直線BC和拋物線的解析式，可由點(diǎn)D的橫坐標(biāo)求出點(diǎn)D、F的縱坐標(biāo)，它們的差就是線段DF的長，以DF為底、OB為高可求出△BCD的面積表達(dá)式，再根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可確定△BCD的面積最大時(shí)（即四邊形ABDC的面積最大時(shí)）點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）設(shè)過點(diǎn)D的直線與y軸的交點(diǎn)為G，當(dāng)DG∥BC時(shí)，四邊形DFCG是個平行四邊形，此時(shí)DF=GC，由此確定點(diǎn)G的坐標(biāo)，進(jìn)而由待定系數(shù)法確定出直線DG的解析式，聯(lián)立直線DG和拋物線的解析式，消去y后，判斷所得一元二次方程的根的判別式是否為0即可．

解答：解：（1）設(shè)所求拋物線為y=a（x-x₁）（x-x₂）
∴該拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0）
∴y=a（x-+1）（x-4）
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0，2）
∴2=-4a
∴a=-

1

2

∴y=-

1

2

x2+

3

2

x+2．

（2）∵點(diǎn)D在拋物線上
∴D（a，-

1

2

a2+

3

2

a+2）
過點(diǎn)D作DE⊥X軸，交BC于點(diǎn)F
∵過BC的直線為y=-

1

2

x+2
∴F(a，-

1

2

a+2)
∴DF=-

1

2

a2+

3

2

a+2+

1

2

a-2=-

1

2

a2+2a
∴S_{四邊形ABDC}=S_△ABC+S_△BCD=

1

2

×2×5+

1

2

×4×(-

1

2

a2+2a)=-a2+4a+5
∴當(dāng)a=2時(shí)，S最大值等于9
∴D（2，3）．

（3）∵過點(diǎn)D的直線l∥BC交y軸于點(diǎn)G
∵四邊形CFDG是平行四邊形
∴DF=CG=2
∴G（0，4）
∴直線：y=-

1

2

x+4
∴-

1

2

x+4=-

1

2

x2+

3

2

x+2
∴x²-4x+4=0
∴△=16-16=0
∴直線與拋物線只有一個交點(diǎn)．

點(diǎn)評：此題的難度不大，主要涉及了函數(shù)解析式的確定、圖形面積的解法以及函數(shù)圖象交點(diǎn)的解法等基礎(chǔ)知識；（3）題也可由兩直線平行，那么斜率相同（即k值相等）來確定直線的解析式．