Question

如圖，已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0），第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在直線y=2x上，∠PAO=45度．

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）如果二次函數(shù)的圖像經(jīng)過P、O、A三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫出它的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)M；

（3）如果將第（2）小題中的二次函數(shù)的圖像向上或向下平移，使它的頂點(diǎn)落在直線y=2x上的點(diǎn)Q處，求△APM與△APQ的面積之比．

 

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)P作PH⊥OA，垂足為點(diǎn)H．

∵點(diǎn)P在直線上，∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

∵∠PAO=45°，PH⊥OA，∴∠PAO=∠APH=45°．

∴PH=AH=2x．

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0），∴．

∴．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,2）．

（2）設(shè)所求的二次函數(shù)解析式為．

∵圖像經(jīng)過P（1,2）、O（0,0）、A（3,0）三點(diǎn)，

∴

解得

∴所求的二次函數(shù)解析式為．

頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．

（3）根據(jù)題意，得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，3）．

∵，，

，

∴，

．

∴△APM與△APQ的面積之比為．

另解：根據(jù)題意，得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，3）．

設(shè)圖像的對(duì)稱軸與直線AP相交于點(diǎn)N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）．

∴，．

∴．

∴，．

∴△APM與△APQ的面積之比為