Question

如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F．
（1）求證：△ADE∽△BEF；
（2）設(shè)正方形的邊長為4，AE=x，BF=y；求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及函數(shù)的定義域；
（3）當x取什么值時，y有最大值？求出這個最大值．并指出該函數(shù)圖象的變化情況．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及余角的性質(zhì)得出△ADE與△BEF的兩對應(yīng)角相等，從而得出△ADE∽△BEF；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及函數(shù)的定義域；
（3）當a＜0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值．

解答：（1）證明：∵ABCD是正方形，∴∠DAE=∠EBF=90°，（1分）
∴∠ADE+∠AED=90°，
又EF⊥DE，∴∠AED+∠BEF=90°，（1分）
∴∠ADE=∠BEF，（1分）
∴△ADE∽△BEF（1分）

（2）解：由（1）△ADE∽△BEF，AD=4，BE=4-x
得：

BF

AE

=

BE

AD

，即：

y

x

=

4-x

4

，（1分）
得：y=-

1

4

x2+x=-

1

4

(x2-4x)=-

1

4

(x-2)2+1，（0＜x＜4）（2分）

（3）解：當x=2時，y有最大值，y的最大值為1．（1分）
該函數(shù)圖象在對稱軸x=2的左側(cè)部分是上升的，右側(cè)部分是下降的．（2分）

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．確定個二次函數(shù)的最值是，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．