【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點A(-1,0),B(3,0),y軸正半軸于點C,給出下列結(jié)論

a=-1, b=2, c=3;

②若0<x<4,則5a<y<-3a;

③對任意實數(shù)m,一定有am2+bm+a≤0;

④一元二次方程cx2+bx+a=0的兩個根為-1.其中正確的結(jié)論是(  )

A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④

【答案】D

【解析】

利用交點式寫出拋物線解析式為y=ax2-2ax-3a,則可對①進行判斷;配成頂點式得y=a(x-1)2-4a,計算x=4時,y=a51=5a,則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對②進行判斷;根據(jù)頂點式,拋物線向下平移-4a個單位,解析式為:y′=ax2+bx+c+4a=ax2+bx-3a+4a=ax2+bx+a≤0,可對③進行判斷;由于b=-2a,c=-3a,則方程cx2+bx+a=0化為-3ax2-2ax+a=0,然后解方程可對④進行判斷.

∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(-1,0),點B(3,0),

∴拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3),即y=ax2-2ax-3a,

b=-2a,c=-3a,

a:b:c=-1:2:3,故①錯誤;

x=4時,y=a(x+1)(x-3)=a51=5a,y=ax2-2ax-3a=a[(x-1)2-4]=a(x-1)2-4a,

∴當0<x<4時,則5a<y<-4a,所以②錯誤;

y=ax2-2ax-3a=a[(x-1)2-4]=a(x-1)2-4a,

∴頂點坐標為(1,-4a),

∵拋物線開口向下,c=-3a,

∴拋物線向下平移-4a個單位,則拋物線頂點為(1,0),

∴平移后的解析式為:y′=ax2+bx+c+4a=ax2+bx-3a+4a=ax2+bx+a≤0,故③正確;

b=-2a,c=-3a,

∴方程cx2+bx+a=0化為-3ax2-2ax+a=0,

整理得3x2+2x-1=0,解得x1=-1,x2=,所以④正確.

故選D.

練習(xí)冊系列答案
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