Question

如圖1，△ABC為等邊三角形，面積為1．D、E、F分別是△ABC三邊上的點，且AD=BE=CF=

1

2

AB，連接DE，EF，F(xiàn)D，可得△DEF，并記△DEF的面積為S₁；當AD=BE=CF=

1

3

AB時，如圖2，并記△DEF的面積為S₂；按照上述思路探索下去，當AD=BE=CF=

1

10

AB時，△DEF的面積S₉=

 

．

Answer 1

分析：由于無論怎么變化，△ADF、△CFE、△BDE都全等，因此△DEF是等邊三角形，由于等邊三角形都相似，因此△DEF∽△ABC；可根據(jù)余弦定理求出△DEF的邊長，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求出△DEF的面積．

解答：解：當AD=BE=CF=

1

n+1

AB時，BD=CE=AF=

n

n+1

AB，
∵∠A=∠B=∠C，
∴△ADF≌△CFE≌△BED，
∴DF=EF=DE，即△DEF是等邊三角形，
∴△DEF∽△ABC，
在△BDE中，BD=

n

n+1

AB，BE=

1

n+1

AB，∠B=60°，
根據(jù)余弦定理可得：DE²=BE²+BD²-2BE•BD•cos60°，即DE²=

n2-n+1

(n+1)2

AB²，
∴S_△DEF：S_△ABC=DE²：AB²=

n2-n+1

(n+1)2

，
∵S_△ABC=1，
∴S_△DEF=S_n=

n2-n+1

(n+1)2

，
當n=9時，S_△DEF=S₉=

73

100

．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質以及等邊三角形的性質等知識．綜合性較強，難度較大．