Question

如圖1，△ABC為等邊三角形，面積為S．D₁、E₁、F₁分別是△ABC三邊上的點(diǎn)，且AD₁=BE₁=CF₁=

1

2

AB，連接D₁E₁、E₁F₁、F₁D₁，可得△D₁E₁F₁是等邊三角形，此時△AD₁F₁的面積S₁=

1

4

S，△D₁E₁F₁的面積S₁=

1

4

S．
（1）當(dāng)D₂、E₂、F₂分別是等邊△ABC三邊上的點(diǎn)，且AD₂=BE₂=CF₂=

1

3

AB時如圖2，
①求證：△D₂E₂F₂是等邊三角形；
②若用S表示△AD₂F₂的面積S₂，則S₂=

 

；若用S表示△D₂E₂F₂的面積S₂′，則S₂′=

 

．
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
當(dāng)D_n、E_n、F_n分別是等邊△ABC三邊上的點(diǎn)，AD_n=BE_n=CF_n=

1

n+1

AB時，（n為正整數(shù)）△D_nE_nF_n是

 

三角形；
若用S表示△AD_nF_n的面積S_n，則S_n=

 

；若用S表示△D_nE_nF_n的面積S_n′，則S′_n=

 

．

Answer 1

分析：（1）由等邊三角形的性質(zhì)和已知條件可證△AD₂F₂≌△BE₂D₂≌△CF₂E₂，得D₂E₂=E₂F₂=F₂D₂所以△D₂E₂F₂為等邊三角形．
（2）（3）由等邊三角形的性質(zhì)和面積公式可求．

解答：解：（1）①∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，（1分）
由已知得AD₂=

1

3

AB，BE₂=

1

3

BC，CF2=

1

3

AC
∴AF₂=

2

3

AC，BD₂=

2

3

AB
∴AD₂=BE₂，AF₂=BD₂（2分）
△AD₂F₂≌△BE₂D₂（3分）
∴D₂E₂=F₂D₂
同理可證△AD₂F₂≌△CF₂E₂
F₂D₂=E₂F₂（4分）
∴D₂E₂=E₂F₂=F₂D₂
∴△D₂E₂F₂為等邊三角形；（5分）
②S2=

2

9

S；（6分）
S′₂=S-

2

9

S×3=

1

3

S（7分）

（2）由（1）可知：△D_nE_nF_n等邊三角形；（8分）
由（1）的方法可知：S2=

2

9

S，S₃=

3

16

S，…Sn=

n

(n+1)2

S；（9分）
S₂′=

1

3

S，S₃′=

7

16

S…Sn′=

n2-n+1

n2+2n+1

S．（10分）

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形等性質(zhì)，和等邊三角形等判斷，以及內(nèi)接等邊三角形的面積規(guī)律．