Question

【題目】已知，直線l1：y=﹣x+n過點A（﹣1，3），雙曲線C：y= （x＞0），過點B（1，2），動直線l2：y=kx﹣2k+2（常數k＜0）恒過定點F．

（1）求直線l1 ， 雙曲線C的解析式，定點F的坐標；
（2）在雙曲線C上取一點P（x，y），過P作x軸的平行線交直線l1于M，連接PF．求證：PF=PM．
（3）若動直線l2與雙曲線C交于P1 ， P2兩點，連接OF交直線l1于點E，連接P1E，P2E，求證：EF平分∠P1EP2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線l1：y=﹣x+n過點A（﹣1，3），

∴﹣（﹣1）+n=3，

解得：n=2，

∴直線l1的解析式為：y=﹣x+2，

∵雙曲線C：y= （x＞0）過點B（1，2），

∴m=xy=1×2=2，

即雙曲線C的解析式為：y= ，

∵動直線l2：y=kx﹣2k+2=k（x﹣2）+2，

∴不論k為任何負數時，當x=2時，則y=2，

即動直線l2：y=kx﹣2k+2恒過定點F（2，2）

（2）證明：如圖1，在雙曲線C上任取一點P（x，y），過P作x軸的平行線交直線l1于M（x0，y），連接PF．

則PF=x﹣x0，

又∵M（x0，y）在直線l1上，

∴﹣x0+2=y，

∴x0=2﹣y=2﹣ ，

∴PM=x+ ﹣2，

又∵PF= = = = =x+ ﹣2；

（注：x+ ﹣2=（ ）2+（ ）2﹣2 +2 ﹣2=（ ﹣ ）2+2 ﹣2=（ ﹣ ）2+2（ ﹣1）≥2（ ﹣1）＞0）

∴PM=PF；

（3）證明：證明：如圖2，過P1分別作P1M1∥x軸交l1于M1，作P1N1⊥l1，垂足為N1，過P2分別作P2M2∥x軸交l1于M2，作P2N2⊥l1，垂足為N2，

∵直線l1的解析式為y=﹣x+2，

∴△P1M1N1和△P2M2N2都是等腰直角三角形．

∴P1N1= P1M1= P1F，P2N2= P2M2= P2F，

∵直線EF的解析為：y=x，

∴EF⊥l1，

∴P1N1∥EF∥P2N2，

∴ = = ，

即 = ，

∴△P1N1E∽△P2N2E，

∴∠P1EN1=∠P2EN2，

∵∠P1EF=90°﹣∠P1EN1，∠P2EF=90°﹣∠P2EN2，

∴∠P1EF=∠P2EF，

∴EF平分∠P1EP2．

【解析】（1）由直線l1：y=﹣x+n過點A（﹣1，3），雙曲線C：y= （x＞0），過點B（1，2），利用待定系數法即可求得直線l1，雙曲線C的解析式；由動直線l2：y=kx﹣2k+2，配方法可求得定點F的坐標；（2）首先在雙曲線C上任取一點P（x，y），過P作x軸的平行線交直線l1于M（x0，y），連接PF．然后分別求得PM與PF的長，繼而證得結論；（3）首先過P1分別作P1M1∥x軸交l1于M1，作P1N1⊥l1，垂足為N1，過P2分別作P2M2∥x軸交l1于M2，作P2N2⊥l1，垂足為N2，易證得EF⊥l1，可得P1N1∥EF∥P2N2，繼而證得△P1N1E∽△P2N2E，然后由相似三角形的對應角相等，證得結論．