閱讀理解:

如圖1,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E不與點A、點B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成三個三角形,如果其中有兩個三角形相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點;如果這三個三角形都相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點.解決問題:

(1)如圖1,∠A=∠B=∠DEC=55°,試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點,并說明理由;

(2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四點均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1)的格點(即每個小正方形的頂點)上,試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E;

拓展探究:

(3)如圖3,將矩形ABCD沿CM折疊,使點D落在AB邊上的點E處.若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點,試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系.

 

 

【答案】

(1)是,理由見解析;(2)作圖見解析;(3).

【解析】

試題分析:(1)要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點,只要證明有一組三角形相似就行,很容易證明△ADE∽△BEC,所以問題得解.

(2)根據(jù)兩個直角三角形相似得到強相似點的兩種情況即可.

(3)因為點E是梯形ABCD的AB邊上的一個強相似點,所以就有相似三角形出現(xiàn),根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段成比例,可以判斷出AE和BE的數(shù)量關(guān)系,從而可求出解.

試題解析:(1)點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點.

理由:∵∠A=55°,

∴∠ADE+∠DEA=125°.

∵∠DEC=55°,

∴∠BEC+∠DEA=125°.

∴∠ADE=∠BEC.

∵∠A=∠B,

∴△ADE∽△BEC.

∴點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點.

(2)作圖如下:

(3)∵點E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點,

∴△AEM∽△BCE∽△ECM,

∴∠BCE=∠ECM=∠AEM.

由折疊可知:△ECM≌△DCM,

∴∠ECM=∠DCM,CE=CD,

∴∠BCE=∠BCD=30°,

∴BE=CE=AB.

在Rt△BCE中,tan∠BCE==tan30°,

,

考點: 相似形綜合題.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

25、(1)閱讀理解:如圖1是二環(huán)三角形,可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°
理由:連接A1A4
∵∠1+∠2+∠A1OA4=180°
∠A5+∠A6+∠A5OA6=180°
又∵∠A1OA4=∠A5OA6
∴∠1+∠2=∠A5+∠A6
∴∠A2+∠3+∠1+∠2+∠4+∠A3=360°
∴∠A2+∠3+∠A5+∠A6+∠4+∠A3=360°
即S=360°
(2)延伸探究:

①如圖2是二環(huán)四邊形,可得S=∠A1+∠A2+…+∠A8=720°,請你加以證明
②如圖3是二環(huán)五邊形,可得S=
1080
,聰明的你,能根據(jù)以上的規(guī)律直接寫出二環(huán)n邊形(n≥3的整數(shù))中,S=
360(n-2)
度.(用含n的代數(shù)式表示最后的結(jié)果)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

23、閱讀理解:如圖(1),已知直線m∥n,A、B 為直線n上兩點,C、D為直線m上兩點,容易證明:△ABC的面積=△ABD的面積.
根據(jù)上述內(nèi)容解決以下問題:已知正方形ABCD的邊長為4,G是邊CD上一點,以CG為邊作正方形GCEF.
(1)如圖(2),當點G與點D重合時,△BDF的面積為
8

(2)如圖(3),當點G是CD的中點時,△BDF的面積為
8

(3)如圖(4),當CG=a時,則△BDF的面積為
8
,并說明理由.
探索應(yīng)用:小張家有一塊正方形的土地如圖(5),由于修建高速公路被占去一塊三角形BCP區(qū)域.現(xiàn)決定在DP右側(cè)補給小張一塊土地,補償后,土地變?yōu)樗倪呅蜛BMD,要求補償后的四邊形ABMD的面積與原來形正方形ABCD的面積相等且M在射線BP上,請你在圖中畫出M點的位置,并簡要敘述做法.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

閱讀理解:如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點P在BC邊上,當∠APD=90°時,易證△ABP∽△PCD,從而得到BP•PC=AB•CD,解答下列問題.
(1)模型探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點P在BC邊上,當∠B=∠C=∠APD時,求證:BP•PC=AB•CD;
(2)拓展應(yīng)用:如圖3,在四邊形ABCD中,AB=4,BC=10,CD=6,∠B=∠C=60°,AO⊥BC于點O,以O(shè)為頂點,以BC所在直線為x軸,建立平面直角坐標系,點P為線段OC上一動點(不與端點O、C重合)
(i)當∠APD=60°時,求點P的坐標;
(ii)過點P作PE⊥PD,交y軸于點E,設(shè)PO=x,OE=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

(2012•臺州模擬)閱讀理解:如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點P在BC邊上,當∠APD=90°時,易證△ABP∽△PCD,從而得到BP•PC=AB•CD,解答下列問題.
(1)模型探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點P在BC邊上,當∠B=∠C=∠APD時,結(jié)論BP•PC=AB•CD仍成立嗎?試說明理由;
(2)拓展應(yīng)用:如圖3,M為AB的中點,AE與BD交于點C,∠DME=∠A=∠B=45°且DM交AC于F,ME交BC于G.AB=4
2
,AF=3,求FG的長.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

(2013•咸寧)閱讀理解:
如圖1,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E不與點A、點B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成三個三角形,如果其中有兩個三角形相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點;如果這三個三角形都相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點.解決問題:
(1)如圖1,∠A=∠B=∠DEC=55°,試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點,并說明理由;
(2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四點均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1)的格點(即每個小正方形的頂點)上,試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E;
拓展探究:
(3)如圖3,將矩形ABCD沿CM折疊,使點D落在AB邊上的點E處.若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點,試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系.

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