Question

如圖，等腰△ABC中，AC=BC，CD是底邊上的高，∠A=30°．
（1）CD與AB有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DD₁⊥BC，垂足為D₁；D₁D₂⊥AB，垂足為D₂；D₂D₃⊥BC，垂足為D₃；D₃D₄⊥AB，垂足為D₄；…；D_2n+1D_2n⊥AB，垂足為D_2n；D_2n+1D_2n⊥BC，垂足為D_2n+1（n為非零自然數(shù)）．若CD=a，請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示下表中線段的長(zhǎng)度（請(qǐng)將結(jié)果直接填入表中）；

線段	D1D2	D3D4	D5D6	…	D2n-1 D2n
長(zhǎng)度				…

（3）某工業(yè)園區(qū)一個(gè)車(chē)間的人字形屋架為（2）中的圖形，跨度AB為16米，CD是該屋架的主柱，DD₁，D₁D₂，D₂D₃…D_2n+1D_2n為輔柱．若整個(gè)屋架有18根輔柱，則最短一根輔柱的長(zhǎng)度約為多少米？（結(jié)果精確到0.1米）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)30°的正切值易得CD與AD之間的關(guān)系，而根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD等于BA的一半；
（2）易得∠DCB=60°，那么可根據(jù)60°的正弦值得到DD1=a；同理可得D₁D₂=（）²a=a，按規(guī)律可得D₃D₄=（）⁴a=a，D₅D₆=（）⁶a=a，D_2n-1D_2n=（）²ⁿa=（）ⁿa；
（3）易得DB=8，利用（2）得到的結(jié)論，可算出D₇D₈的長(zhǎng)度，利用30°的余弦值可求得所求線段的長(zhǎng)度．
解答：解：（1）∵AC=BC，CD⊥AB，∴AD=BD=AB．
在Rt△ACD中，=tan30°，∴CD=ADtan30°=AB×AB．

（2）填表依次為：（或或），
（或或），（或）

（3）∵整個(gè)屋架有18根輔柱，
∴右側(cè)最短一根輔柱為D₈D₉，倒數(shù)第二根為D₇D₈，
D₈D₉=D₇D₈cos30°=（）⁴a×cos30°=（）⁴×AB×cos30°
=（）⁴××16×cos30°=≈1.3（米）．
答：最短一根輔柱的長(zhǎng)度約為1.3米．
點(diǎn)評(píng)：本題主要運(yùn)用了等腰三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)，注意總結(jié)規(guī)律的得出．