Question

【題目】如圖，ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，將線段OD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，OE交CD于H，連接DE．

（1）求證：DE⊥BC；
（2）若OE⊥CD，求證：2CEOE=CDDE；
（3）若OE⊥CD，BC=3，CE=1，求線段AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：由旋轉(zhuǎn)可知OE=OD，

∴∠ODE=∠OED，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OB=OD，OA=OC

∴OB=OE，

∴∠OEB=∠OBE，

∵∠BDE+∠DBE+∠BED=180°，

∴∠ODE+∠OED+∠OEB+∠OBE=180°

∴∠OED+∠OEB=90°，

即∠DEB=90°，

∴DE⊥BC；

（2）

解：∵OE⊥CD，

∴∠CHE=90°，

∴∠CDE+∠OED=90°

∵∠OED+∠OEB=90°，

∴∠CDE=∠OEB

∵∠OEB=∠OBE，

∴∠CDE=∠OBE，

∵∠CDE=∠OBE，∠CED=∠DEB，

∴△CDE∽△DBE

∴ = ，即CEBD=CDDE，

∵OE=OD，OB=OD，BD=OB+OD，

∴BD=2OE，

∴2CEOE=CDDE；

（3）

解：∵BC=3，CE=1，

∴BE=4

由（2）知，△CDE∽△DBE

∴ = ，即DE2=CEBE=4，

∴DE=2，

過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BE，垂足為F，

∵OB=OE，

∴BF=EF= BE=2，

∴CF=EF﹣CE=1

∵OB=OD，BE=EF，

∴OF= DE=1，

在Rt△OCF中，OC= = = ，

∴AC=2OC=2 ．

【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OE=OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODE=∠OED，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OB=OD，OA=OC等量代換得到OB=OE，推出∠DEB=90°，根據(jù)垂直的定義得到結(jié)論；（2）由垂直的定義得到∠CHE=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠CDE=∠OEB等量代換得到∠CDE=∠OBE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CEBD=CDDE，等量代換即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DE2=CEBE=4，求得DE=2，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BE，垂足為F，根據(jù)等腰三角形的想知道的BF=EF= BE=2，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握勾股定理的概念和平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分．