【題目】如圖,ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,將線段OD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處,OE交CD于H,連接DE.
(1)求證:DE⊥BC;
(2)若OE⊥CD,求證:2CEOE=CDDE;
(3)若OE⊥CD,BC=3,CE=1,求線段AC的長(zhǎng).
【答案】
(1)
證明:由旋轉(zhuǎn)可知OE=OD,
∴∠ODE=∠OED,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OB=OD,OA=OC
∴OB=OE,
∴∠OEB=∠OBE,
∵∠BDE+∠DBE+∠BED=180°,
∴∠ODE+∠OED+∠OEB+∠OBE=180°
∴∠OED+∠OEB=90°,
即∠DEB=90°,
∴DE⊥BC;
(2)
解:∵OE⊥CD,
∴∠CHE=90°,
∴∠CDE+∠OED=90°
∵∠OED+∠OEB=90°,
∴∠CDE=∠OEB
∵∠OEB=∠OBE,
∴∠CDE=∠OBE,
∵∠CDE=∠OBE,∠CED=∠DEB,
∴△CDE∽△DBE
∴ = ,即CEBD=CDDE,
∵OE=OD,OB=OD,BD=OB+OD,
∴BD=2OE,
∴2CEOE=CDDE;
(3)
解:∵BC=3,CE=1,
∴BE=4
由(2)知,△CDE∽△DBE
∴ = ,即DE2=CEBE=4,
∴DE=2,
過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BE,垂足為F,
∵OB=OE,
∴BF=EF= BE=2,
∴CF=EF﹣CE=1
∵OB=OD,BE=EF,
∴OF= DE=1,
在Rt△OCF中,OC= = = ,
∴AC=2OC=2 .
【解析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OE=OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODE=∠OED,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OB=OD,OA=OC等量代換得到OB=OE,推出∠DEB=90°,根據(jù)垂直的定義得到結(jié)論;(2)由垂直的定義得到∠CHE=90°,根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠CDE=∠OEB等量代換得到∠CDE=∠OBE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CEBD=CDDE,等量代換即可得到結(jié)論;(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DE2=CEBE=4,求得DE=2,過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BE,垂足為F,根據(jù)等腰三角形的想知道的BF=EF= BE=2,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】掌握勾股定理的概念和平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;平行四邊形的對(duì)邊相等且平行;平行四邊形的對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ);平行四邊形的對(duì)角線互相平分.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】江蘇衛(wèi)視《最強(qiáng)大腦》曾播出一期“辨臉識(shí)人”節(jié)目,參賽選手以家庭為單位,每組家庭由爸爸媽媽和寶寶3人組成,爸爸、媽媽和寶寶分散在三塊區(qū)域,選手需在寶寶中選一個(gè)寶寶,然后分別在爸爸區(qū)域和媽媽區(qū)域中正確找出這個(gè)寶寶的父母,不考慮其他因素,僅從數(shù)學(xué)角度思考,已知在本期比賽中有A、B、C三組家庭進(jìn)行比賽.
(1)若機(jī)器人智能小度選擇A組家庭的寶寶,求小度在媽媽區(qū)域中正確找出其媽媽的概率;
(2)如果任選一個(gè)寶寶(假如選A組家庭),通過(guò)列表或樹(shù)狀圖的方法,求機(jī)器人智能小度至少正確找對(duì)寶寶父母其中一人的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等腰三角形ABC的周長(zhǎng)為30,其中一個(gè)內(nèi)角的余弦值為 ,則其腰長(zhǎng)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某玩具專柜要經(jīng)營(yíng)一種新上市的兒童玩具,進(jìn)價(jià)為20元,試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn):當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí),每天的銷售量為250件,銷售單價(jià)每上漲1元,每天的銷售量就減少10件.
(1)寫(xiě)出專柜銷售這種玩具,每天所得的銷售利潤(rùn)W(元)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求銷售單價(jià)為多少元時(shí),該玩具每天的銷售利潤(rùn)最大;
(3)專柜結(jié)合上述情況,設(shè)計(jì)了A、B兩種營(yíng)銷方案: 方案A:該玩具的銷售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過(guò)30元;
方案B:每天銷售量不少于10件,且每件玩具的利潤(rùn)至少為25元.
請(qǐng)比較哪種方案的最大利潤(rùn)更高,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等邊△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上,且BD=CE,AD,BE相交于點(diǎn)F.
(1)求證:AD=BE;
(2)求∠AFE的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一個(gè)不透明的袋子里裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黃球,它們除顏色外都相同,隨機(jī)從中摸出一球,記下顏色后放回袋中,充分搖勻后,再隨機(jī)摸出一球,兩次都摸到黃球的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將頂點(diǎn)為P(1,﹣2),且過(guò)原點(diǎn)的拋物線y的一部分沿x軸翻折并向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,得到拋物線y1 , 其頂點(diǎn)為P1 , 然后將拋物線y1沿x軸翻折并向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,得到拋物線y2 , 其頂點(diǎn)為P2;…,如此進(jìn)行下去,直至得到拋物線y2016 , 則點(diǎn)P2016坐標(biāo)為 .
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【題目】如圖,在等腰三角形中,AB=AC,BC=4,D為BC的中點(diǎn),點(diǎn)E、F在線段AD上,tan∠ABC=3,則陰影部分的面積是 .
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