Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠BOC＝108°，過(guò)點(diǎn)C作直線CD分別交直線AB和⊙O于點(diǎn)D、E，連接OE，DE＝AB，OD＝2．

(1)求∠BDC的度數(shù)；

(2)我們把有一個(gè)內(nèi)角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形．它的腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)的比(或者底邊長(zhǎng)與腰長(zhǎng)的比)等于．

①寫出圖中所有的黃金三角形，選一個(gè)說(shuō)明理由；

②求弦CE的長(zhǎng)；

③在直線AB或CD上是否存在點(diǎn)P(點(diǎn)C、D除外)，使△POE是黃金三角形？若存在，畫出點(diǎn)P，簡(jiǎn)要說(shuō)明畫出點(diǎn)P的方法(不要求證明)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1)∵AB是⊙O的直徑,DE=AB,

∴OA=OC=OE=DE.

則∠EOD=∠CDB, ∠OCE=∠OEC.      

設(shè)∠CDB=x,則∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x.

又∠BOC=108°,∴∠CDB+∠OCD=108°.

∴x+2x=108,x=36°. ∴∠CDB=36°.    

①     有三個(gè)：△DOE, △COE, △COD.     

∵OE=DE, ∠CDB=36°, ∴△DOE是黃金三角形

（或∵OC=OE，∠COE=180°-∠OCE-∠OEC=36°.

∴△COE是黃金三角形.或∵∠COB=108°，∴∠COD=72°.又∠OCD=2x=72°，

∴∠OCD=∠COD.∴OD=CD.∴△COD是黃金三角形.

②∵△COD是黃金三角形，∴

∵OD=2,∴OC=-1.    

∵CD=OD=2,DE=OC=-1,

∴CE=CD-DE=2-(-1)=3-

③存在，有三個(gè)符合條件的點(diǎn)P₁、P₂、P₃

）以O(shè)E為底邊的黃金三角形：作OE的垂直平分線分別交直線AB、CD得到點(diǎn)P₁、P₂ 。

）以O(shè)E為腰的黃金三角形：點(diǎn) P₃與點(diǎn)A重合。