Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AM和BN是⊙O的兩條切線，E是⊙O上一點，D是AM上一點，連接DE并延長交BN于點C，且OD∥BE，OF∥BN．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）求證：OF=CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，由AM與圓O相切，利用切線的性質得到OA與AM垂直，即∠OAD=90°，根據OD與BE平行，利用兩直線平行得到一對內錯角相等，一對同位角相等，再由OB=OE，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對角相等，再由OA=OE，OD為公共邊，利用SAS得出三角形AOD與三角形EOD全等，利用全等三角形的對應角相等得到∠OED=90°，即OE垂直于ED，即可得證；
（2）連接OC，由CD與CB為圓的切線，利用切線的性質得到一對直角相等，由OB=OE，OC為公共邊，利用HL得出兩直角三角形全等，進而得到∠BOC=∠EOC，利用等量代換及平角定義得到∠COD=90°，即三角形COD為直角三角形，由OF與BN平行，AM與BN平行，得到三線平行，由O為AB的中的，利用平行線等分線段定理得到F為CD的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證．
解答：證明：（1）連接OE，
∵AM與圓O相切，
∴AM⊥OA，即∠OAD=90°，
∵OD∥BE，
∴∠AOD=∠ABE，∠EOD=∠OEB，
∵OB=OE，
∴∠ABE=∠OEB，
∴∠AOD=∠OEB，
∴∠AOD=∠EOD，
在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SAS），
∴∠OED=∠OAD=90°，
則DE為圓O的切線；

（2）在Rt△BCO和Rt△ECO中，
，
∴Rt△BCO≌Rt△ECO，
∴∠BOC=∠EOC，
∵∠AOD=∠EOD，
∴∠DOC=∠EOD+∠EOC=×180°=90°，
∵AM、BN為圓O的切線，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
∵OF∥BN，
∴AM∥OF∥BN，
又O為AB的中點，
∴F為CD的中點，
則OF=CD．
點評：此題考查了切線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行線的性質，以及等腰三角形的性質，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．