Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AE平分∠BAD，分別交BC，BD于點E，P，連接OE，∠ADC=60°，，則下列結論：①∠CAD=30°②③④，正確的個數是______________

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①先根據角平分線和平行得：∠BAE=∠BEA，則AB=BE=1，由有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形得：△ABE是等邊三角形，由外角的性質和等腰三角形的性質得：∠ACE=30°，最后由平行線的性質可作判斷；

②先根據三角形中位線定理得：OE=AB=，OE∥AB，根據勾股定理計算OC=和OB的長，可得BD的長；③因為∠BAC=90°，根據平行四邊形的面積公式可作判斷；④根據三角形中位線定理及直角三角形30°角的性質可作判斷.

解：①∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，

∴∠DAE=∠BEA，

∴∠BAE=∠BEA，

∴△ABE是等邊三角形，

∴AE=BE=1，

∵BC=2，

∴EC=1，

∴AE=EC，

∴∠EAC=∠ACE，

∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，

∴∠ACE=30°，

∵AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACE=30°，

故①正確；

②∵BE=EC，OA=OC，

∴OE=AB=，OE∥AB，

∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，

Rt△EOC中，OC=，

∴OA=OC=,

Rt△OAB中，OB=，

∴BD=2OB=，

故②正確；

③由②知：∠BAC=90°，

∴SABCD=ABAC，

故③正確；

④由②知：OE是△ABC的中位線，

∴OE=AB，

∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，

∴AB=BC=AD,

∴,

故④正確；

本題正確的有：①②③④,4個，

故答案為：①②③④.