【題目】已知:如圖,AB=BC,∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙OOC與點D,AD的延長線交BC于點E,過D作⊙O的切線交BC于點F.下列結論:①CD2=CE·CB;②4EF 2=ED ·EA;③∠OCB=∠EAB;④.其中正確的只有____________________.(填序號)

【答案】、、

【解析】試題分析:先連接BD,利用相似三角形的判定以及切線的性質定理得出DF=FB,進而分別得出△CDE∽△CBD以及△CDF∽△CBO,再根據相似三角形的性質分別分析即可得出答案.

①連接BD,∵AB為直徑,∴∠ADB=90°,∴∠DBE+∠3=90°,∵∠ABC=90°,

∴∠1+∠DBE=90°,∴∠1=∠3,又∵DO=BO,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,

∴∠CDB=∠CED,∵∠DCB=∠ECD,∴△CDE∽△CBD,∴,故①正確;

②∵過D作⊙O的切線交BC于點F,∴FD是⊙O的切線,∵∠ABC=90°,

∴CB是⊙O的切線,∴FB=DF,∴∠FDB=∠FBD,∴∠1=∠FDE,∴∠FDE=∠3,

∴DF=EF,∴EF=FB,∴EB=2EF,∵在Rt△ABE中,BD⊥AE,∴,

,故②正確;

③∵AO=DO,∴∠OAD=∠ADO,假設③∠OCB=∠EAB成立,則∠OCB=0.5∠COB,

∴∠OCB=30°,而 ,與tan30°= 矛盾,

故③∠OCB=∠EAB不成立,故此選項錯誤;

④∵∠CDF=∠CBO=90°,∠DCF=∠OCB,∴△CDF∽△CBO,∴ ,∴

∵AB=BC,∴DF=0.5CD;故④正確.

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9

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