Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，過(guò)B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，G是上一點(diǎn)，且＝，連結(jié)AG交PD于F，連結(jié)BF．若PD＝6，tan∠BFE＝3．

求：

(1)∠C的度數(shù)；

(2)QH的長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)連結(jié)OP．∵CP是⊙O的切線，∴∠OPC=． 　　∵PD⊥AB，AB是⊙O的直徑．PD=6．∴PE=PD=3． 　　∵．∴∠BAG=． 　　在Rt△AEF，∵tan∠EAF=tan＝＝，∴AE=EF． 　　在Rt△BEF中，∵tan∠BFE=，∴BE=EF． 　　∵由垂徑定理，有PE2=AE·BE，∴(3)2=EF·3EF．(EF＞0) 　　∴EF=(EF=－舍去)∴AE=3，BE=9，AB=12，OE=3． 　　∴OP=AB=6．∵CP⊥OP，PE⊥AB，∴∠C=∠OPE=－∠POC． 　　Rt△OPE中，∵OE=OP，∴∠C=∠OPE=． 　　(2)在Rt△COP中，∵∠C=，OP=6，∴CO=2OP=2×6=12．∴CA=6，CB=18． 　　∵由勾股定理，有CP2=CO2－OP2=122－62=6×18，且CP＞0，∴CP=6(CP=－6舍去)． 　　在Rt△CBQ中，∵∠C－，CB=18，∴BQ=CB=9，CQ=BQ·tan=9． 　　∴PQ=CQ－CP=3．由切割線定理，有PQ2=QH·BQ，∴QH==3．