Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)處，點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)E是OA邊上的點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，EF⊥CE，且與正方形外角平分線AG交于點(diǎn)P.

(1)求證：CE=EP.

(2)若點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3，0)，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形BMEP是平行四邊形?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，2).

【解析】（1）在OC上截取OK=OE．連接EK，求出∠KCE=∠CEA，根據(jù)ASA推出△CKE≌△EAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；

（2）過點(diǎn)B作BM∥PE交y軸于點(diǎn)M，根據(jù)ASA推出△BCM≌△COE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BM=CE，求出BM=EP．根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形BMEP是平行四邊形，即可求出答案．

（1）在OC上截取OK=OE．連接EK，如圖1．

∵OC=OA，∠COA=∠BA0=90°，∠OEK=∠OKE=45°．

∵AP為正方形OCBA的外角平分線，∴∠BAP=45°，∴∠EKC=∠PAE=135°，∴CK=EA．

∵EC⊥EP，∴∠CEF=∠COE=90°，

∴∠CEO+∠KCE=90°，∠CEO+∠PEA=90°，∴∠KCE=∠CEA．

在△CKE和△EAP中，∵ ，

∴△CKE≌△EAP，∴EC=EP；

（2）y軸上存在點(diǎn)M，使得四邊形BMEP是平行四邊形．

如圖，過點(diǎn)B作BM∥PE交y軸于點(diǎn)M，連接BP，EM，如圖2，

則∠CQB=∠CEP=90°，所以∠OCE=∠CBQ．

在△BCM和△COE中，∵，

∴△BCM≌△COE，∴BM=CE．

∵CE=EP，∴BM=EP．

∵BM∥EP，∴四邊形BMEP是平行四邊形．

∵△BCM≌△COE，∴CM=OE=3，∴OM=CO﹣CM=2．

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2）．