Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與直線AB相交，與x軸、y軸交于A（2，0）、B（0，2）．

（1）求點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象上，求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的關(guān)系式．

（3）在（2）的條件下，在△ABP內(nèi)存在點(diǎn)M，使得MA+MB+MP的值最小，則相應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為　 ．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)P（3，）；（2）y＝﹣x2+x+2；（3）點(diǎn)M坐標(biāo)為（，），

【解析】

（1）由tan∠BAO==，則∠BAO=60°，GA=OA=1，由∠GAP=∠PAH，得AH=AG=1，則PH=AHtan60°=，即可求解；

（2）將點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（3）△ABP為直角三角形，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)G重合時(shí)，MA+MB+MP的值最小，即可求解．

（1）連接AB，過點(diǎn)O作OP⊥AB交AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，

∵點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P，∴OG＝PG，

tan∠BAO＝＝，則∠BAO＝60°，

則∠GOA＝∠OAB＝30°，∠GAO＝∠GAP＝∠PAH＝60°，

則GA＝OA＝1，∵∠GAP＝∠PAH，∴AH＝AG＝1，

則PH＝AHtan60°＝，

故點(diǎn)P（3，）；

（2）將點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：

，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+2；

（3）連接PB，

由題意得：AB＝4，AP＝2，BP＝，

則△ABP為直角三角形，

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)G重合時(shí)，MA+MB+MP的值最小，

點(diǎn)M坐標(biāo)為（，），

故答案為：（，）．