Question

【題目】如圖（1），在中，，，為邊上任意一點(diǎn)，為邊一動(dòng)點(diǎn)，分別以為邊作等邊三角形和等邊三角形，連接.

（1）試探索與的位置關(guān)系，并證明；

（2）如圖（2）當(dāng)為延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由；

（3）如圖（3）在中，，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，為邊一動(dòng)點(diǎn)，分別以為邊作等腰三角形和等腰三角形，使得，連接.要使（1）中的結(jié)論依然成立，還需要添加怎樣的條件？為什么？

Answer 1

【答案】（1），見解析；（2）成立，，見解析；（3）要使（1）中的結(jié)論依然成立，還需要添加的條件是，見解析.

【解析】

（1）通過等邊三角形的性質(zhì)（三條邊相等、三個(gè)角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證明△PFE≌△PCQ，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下來由平行線的判定定理（同位角相等，兩直線平行）知PF∥AB；最后由平行線的性質(zhì)（兩平行線中，有一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線）知EF⊥AB；
（2）通過等邊三角形的性質(zhì)（三條邊相等、三個(gè)角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證明△PFE≌△PCQ，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下來由平行線的判定定理（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）知PF∥AB；最后由平行線的性質(zhì)（兩平行線中，有一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線）知EF⊥AB；
（3）需要添加的條件需滿足：（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．

（1），證明如下：

∵和都是等邊三角形，

∴，

∴，

∴

在和中

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴

（2）成立，，理由如下：

∵和都是等邊三角形，

∴，

∴，

∴，

在和中

∴

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴.

（3）要使（1）中的結(jié)論依然成立，還需要添加的條件是，理由如下：

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴.