Question

（2013•寶應(yīng)縣二模）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，O為AB上一點(diǎn)，OA=

15

4

，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓．
（1）試判斷⊙O與BC的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若⊙O與AC交于點(diǎn)另一點(diǎn)D，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)O作OE⊥BC，先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=10，則OB=AB-OA=10-

15

4

=

25

4

，根據(jù)相似三角形的判定方法易得△BOE∽△BAC，則OE：AC=OB：AB，即OE：6=

25

4

：10，可計(jì)算得OE=

15

4

，由于圓的半徑OA=

15

4

，根據(jù)切線的判定方法得到⊙O與BC相切；
（2）作OF⊥AC于F點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得AF=DF，根據(jù)相似三角形的判定方法易得△AOF∽△ABC，則AF：AC=AO：AB，即AF：6=

15

4

：10，可計(jì)算得AF=

9

4

，則AD=2AF=

9

2

，然后理由CD=AC-AD進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）⊙O與BC相切．理由如下：
過點(diǎn)O作OE⊥BC，如圖，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∴OB=AB-OA=10-

15

4

=

25

4

，
∵∠ACB=90°，
∴OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC，
∴OE：AC=OB：AB，即OE：6=

25

4

：10，
∴OE=

15

4

，
∴OE=OA，
而OE⊥BC
∴⊙O與BC相切；

（2）作OF⊥AC于F點(diǎn)，則AF=DF，如圖，
∵∠C=90°，
∴OF∥BC，
∴△AOF∽△ABC，
∴AF：AC=AO：AB，即AF：6=

15

4

：10，
∴AF=

9

4

，
∴AD=2AF=

9

2

，
∴CD=AC-AD=6-

9

2

=

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了圓的切線的判定：如果圓心到直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線為圓的切線．也考查了勾股定理、垂徑定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．