對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列說法：①當(dāng)b=a+c時，則方程ax2+bx+c=0一定有一根為x=-1；②若ab＞0，bc＜0，則方程ax2+bx+c=0一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一個根，則一定有ac+b+1=0；④若b=2a+3c，則方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．其中正確的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①②④
D．②③④
【答案】分析：根據(jù)一元二次方程根的意義及根的判別式，逐項(xiàng)分析判斷即可．
解答：解：對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），
△=b2-4ac，
①將x=-1代入方程ax2+bx+c=0，得a-b+c=0，即b=a+c．故①正確．
②若ab＞0，bc＜0，則ac＜0，∴△=b2-4ac＞0，即方程ax2+bx+c=0一定有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．故②正確．
③將x=c代入方程ax2+bx+c=0，得ac2+bc+c=0，得c=0或ac+b+1=0．故③錯誤．
④若b=2a+3c，△=b2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，∴方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．故④正確．
所以正確的是①②④，故選C．
點(diǎn)評：本題綜合考查了一元二次方程根的意義及利用根的判別式判斷方程的根的情況．
練習(xí)冊系列答案
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有一根為1的一元二次方程

對于關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果a＋b＋c＝0，那么它的兩個根分別為x1＝1，x2＝．說明如下：

由于a＋b＋c＝0，則c＝－a－b

將c＝－a－b代入原方程，得ax2＋bx－a－b＝0．

即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，所以(x－1)(ax＋a＋b)＝0

解得x1＝1，x2＝．

請利用上面推導(dǎo)出來的結(jié)論，快速求解下列方程：

(1)3x2－5x＋2＝0，x1＝________，x2＝________；

(2)7x2－4x－3＝0，x1＝________，x2＝________；

(3)13x2＋7x－20＝0，x1＝________，x2＝________；

(4)x2－(＋1)x＋＝0，x1＝________，x2＝________；

(5)2004x2－2003x－1＝0，x1＝________，x2＝________；

(6)(b－c)x2＋(c－a)x＋(a－b)＝0(b≠c)，x1＝________，x2＝________；

(7)請你寫出3個一元二次方程，使它們都有一個根是1．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：三點(diǎn)一測叢書九年級數(shù)學(xué)上 題型：022

有一根為1的一元二次方程

　　對于關(guān)于x的一元一次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果a＋b＋c＝0，那么它的兩個根分別為x1＝1，x2＝．說明如下：

　　由于a＋b＋c＝0，則c＝－a－b

　　將c＝－a－b代入原方程，得ax2＋bx－a－b＝0．

　　即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，所以(x－1)(ax＋a＋b)＝0

　　解得x1＝1，x2＝．

請利用上面推導(dǎo)出來的結(jié)論，快速求解下列方程：

(1)3x2－5x＋2＝0，　　　　　　　(2)7x2－4x－3＝0，

x1＝________，x2＝________；　　x1＝________，x2＝________；

(3)13x2＋7x－20＝0，　　　　　　(4)x2－(＋1)x＋＝0，

x1＝________，x2＝________；　　x1＝________，x2＝________；

(5)2004x2－2003x2－1＝0，x1＝________；x2＝________；

(6)(b－c)x2＋(c－a)x＋(a－b)＝0(b≠c)，

x1＝________，x2＝________．

(7)請你寫出3個一元二次方程，使它們都有一個根是1．

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