Question

【題目】如圖1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直徑，⊙O交AC于點D，過點D的直線交BC于點E，交AB的延長線于點P，∠A=∠PDB．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）若BD=BP=2，求圖中曲邊三角形（陰影部分）的周長；

（3）如圖2，點M是 的中點，連接DM，交AB于點N，若tan∠A=，求的值．

Answer 1

【答案】（1）、證明過程見解析；（2）、6+；（3）、.

【解析】

試題分析：（1）、連接OD，根據直徑得出∠ADB=90°，根據OA=OB得∠A+∠ABD=90°，根據OA=OB=OD得出∠ADO=∠A，則∠BDO=∠ABD，從而得到∠PDO=90°，說明切線；（2）、根據題意得出△BOD為正三角形，根據弧長計算公式求出弧BD的長度，根據Rt△BDC得出DC，BC的長度，然后計算曲邊三角形的周長；（3）、連接OM，過D作DF⊥AB于F，根據點M為弧的中點可得OM⊥AB，設BD=x，則AD=2x，AB=x，DF=，根據△OMN和△FDN相似得出答案.

試題解析：（1）、連結OD

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ADB=90°，OA=OB，∠A+∠ABD=90°

又∵OA=OB=OD

∴∠ADO=∠A

∴∠BDO=∠ABD

又∵∠A=∠PDB

∴∠PDB+∠BD0=90°

即∠PDO=90°且D在圓上

∴PD是⊙O的切線；

（2）、由已知和（1）可得，△ABD≌△POD,

易得△BOD為等邊三角形，

∴∠ADB=∠ACB=60°，OA=OB=OD=BD

∴ =

又在Rt△BDC中，∠ACB=60°,BD=

∴DC=2，BC=4

∴曲邊三角形（陰影部分）的周長為：

（3）、連結OM，過D作DF⊥AB于F

∵點M是 的中點, ∴OM⊥AB

設BD=x，則AD=2x,AB= ,DF=

由△OMN∽△FDN得