Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,點E、F在BC上，且CF=BE,連接DE,過點F作FG⊥AB于點G．

（1）如圖1,若∠B=60°，DE平分∠ADC，且 ，,求平行四邊形ABCD的面積．

（2）點H在GF上，且HE=HF，延長EH交AC，CD于點O，Q，連接AQ，若AC=BC=EQ，∠EQC=45°，求證:．

Answer 1

【答案】（1）18+9；（2）見詳解．

【解析】

（1）由角平分線的定義及平行四邊形的性質，得CD=CE=6，從而得CF=，進而得BC=6+．過點A作AM⊥BC于點M，得AM= ，根據平行四邊形的面積公式，即可求解．

（2）過點C作CN⊥EQ于點N，其延長線交AD于點K，先證△BGF≌△CNE(AAS)，再證△ACK≌△QEC(ASA)，進而即可得到結論．

（1）∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE=∠CDE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠ADE=∠CED，

∴∠CED=∠CDE，

∴CD=CE=6，

∵，

∴CF=，

∵CF=BE，

∴BE=，

∴BC=6+．

過點A作AM⊥BC于點M，

∵∠B=60°，AB=CD=6，

∴∠BAM=30°，

∴BM=3，

∴AM=BM=，

∴平行四邊形ABCD的面積=（6+）×=18+9；

（2）過點C作CN⊥EQ于點N，其延長線交AD于點K，

∵∠EQC=45°，

∴△CNQ為等腰直角三角形，

∴∠NQC=∠NCQ=45°，且CQ=CN，

∵HE=HF，

∴∠HEF=∠HFE，

∵FG⊥AB，CN⊥EQ，

∴∠FGB=∠ENC=90°，

又∵BE=CF，

∴BF=CE，

∴△BGF≌△CNE(AAS)，

∴BG=CN，∠B=∠ECN，

∴CQ=BG，

又∵AC=BC=AD，

∴∠D=∠ACD，

又∵∠B=∠D，

∴∠ECN=∠ACD，

∴∠KAC=∠BCA=∠NCQ=45°，

∴∠BAC=∠ACD=∠B=∠CDA=∠ECN =67.5°，

∴∠ACK= ∠ECN-∠BCA =22.5°，∠QEC=180°-90°-∠ECN =22.5°，

即：∠ACK=∠QEC，

又∵∠KAC=∠CQE=45°，AC=QE，

∴△ACK≌△QEC(ASA)，

∴CK=CE，

∵∠CDA=67.5°，∠NCQ=45°，

∴∠CKD=180°-45°-67.5°=67.5°，

∴∠CKD=∠CDA，

∴CK=CD，

∴CE=CD，

∵CD=CQ+QD=BG+DQ，

∴．