Question

如圖，在直角坐標系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上, 以OB為直徑的⊙C與AB交于點D， DE與⊙C相切交x軸于點E, 且OA=cm，∠OAB="30°."

（1）求點B的坐標及直線AB的解析式;
（2）過點B作BG^EC于 F, 交x軸于點G, 求BD的長及點F的坐標;
（3）設點P從點A開始沿ABG的方向以4cm/s的速度勻速向點G移動，點Q同時
從點A開始沿AG勻速向點G移動, 當四邊形CBPQ為平行四邊形時, 求點Q的移動
速度.

Answer 1

解:（1）由OA^ OB, ∠OAB="30°," OA=，可得AB=2OB.
在Rt△AOB中, 由勾股定理得OB=12，AB=24.
∴ B(0, 12).                           …………………………………………1分
∵ OA=,
∴ A (,0).
可得直線AB的解析式為.                   ……………………2分
（2）法一：連接CD, 過F作FM⊥x軸于點M,則CB=CD.
∵∠OBA=90°-∠A=60°,
∴△CBD是等邊三角形.
∴ BD=CB=OB="6,   " ……………………3分
∠BCD="60°," ∠OCD="120°."
∵ OB是直徑，OA^ OB,
∴ OA切⊙C于O.
∵ DE切⊙C于D,
∴∠COE=∠CDE="90°," ∠OEC=∠DEC.
∴∠OED="360°" -∠COE-∠CDE -∠OCD = 60°.
∴∠OEC=∠DEC=30°.
∴ CE="2" CO=12.
∴在Rt△COE中, 由勾股定理OE=.      ……………………4分
∵ BG^EC于F,
∴∠GFE=90°.
∵∠GBO +∠BGO=∠OEC +∠BGO ,
∴∠GBO=∠OEC =30°.
故可得FC=BC="3," EF="FC+CE=15, "
FM=EF=, ME=FM=          ………………………………………5分
∴ MO=
∴ F(,).                          ………………………………………6分
法二：連接OD, 過D作DH^ OB于H.
∵ OB是直徑，
∴∠BDO=90°.
∵∠BOD +∠DOA=∠A +∠DOA,
∴∠BOD=∠A ="30°."
由（1）OB=12,
∴                ……………………………………………………3分
在Rt△DOB中, 由勾股定理得 OD=.
在Rt△DOH中, 由勾股定理得 HD=, OH=9.
∴ D(, 9).
可得直線 OD的解析式為
由BG//DO, B(0, 12)，
可得直線BG的解析式為          ……………………………………4分
∵ OB是直徑，OA^ OB,
∴ OA切⊙C于O.
∵ DE切⊙C于D,
∴ EO="ED."
∵∠DOE=∠BOA -∠BOD =60°,
∴△ODE是等邊三角形.
∴.           
∴ EA="OA-" OE=.
∵ OC="CB=6," OE=EA=,
∴ C(0, 6), CE//BA.    
∴直線CE的解析式為        ………………………………………5分
由  
∴ F(,).                ……………………………………………………6分
（3）設點Q移動的速度為vcm/s .
(ⅰ)當點P運動到AB中點，點Q運動到AO中點時，
PQ∥BC，且PQ=BC，此時四邊形CBPQ為平行四邊形, 點Q與點E重合.

∴（cm/s）.             ………………………………………7分
(ⅱ) 當點P運動到BG中點，點Q運動到OG中點時，
PQ∥BC，PQ="BC," 此時四邊形CBPQ為平行四邊形.
可得BG=從而PB=,OQ=
∴
∴（cm/s）. (分母未有理化不扣分)  ………8分
∴點Q的速度為cm/s或 cm/s.    

略