(1)如圖1,矩形ABCD,點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,
3
),求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)拋物線的解析式;
(2)如圖2,拋物線E:y=-
1
2
x2+bx+c
經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,其頂點(diǎn)在y軸左側(cè),以O(shè)為頂點(diǎn)作矩形OADC,A、C為拋物線E上兩點(diǎn),若AC∥x軸,AD=2CD,則拋物線的解析式是
 
;
(3)如圖3,點(diǎn)A、B、C分別為拋物線F:y=ax2+bx+c(a<0)上的點(diǎn),點(diǎn)B在對(duì)稱軸右側(cè),點(diǎn)D在拋物線外,順次連接A、B、C、D四點(diǎn),所成四邊形為矩形,且AC∥x軸,AD=2CD,求矩形ABCD的周長(zhǎng)(用含a的式子表示).
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分析:(1)首先過點(diǎn)B作BH⊥AO于H,由三角函數(shù)的知識(shí),即可求得∠AOB的度數(shù),又由四邊形ABCD是矩形,即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo),又因?yàn)閽佄锞過原點(diǎn),可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx,利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式;
(2)根據(jù)矩形與三角函數(shù)的知識(shí),即可求得點(diǎn)A與C的坐標(biāo)分別為(-
1
2
y,y)與(2y,y),又由拋物線過原點(diǎn),求得c=0,將點(diǎn)A與C的坐標(biāo)代入解析式即可求得b的值,則可求得拋物線的解析式;
(3)首先作輔助線:過點(diǎn)B作BH⊥AO于H,令頂點(diǎn)為P,作拋物線對(duì)稱軸PQ交AC于點(diǎn)M,過B作BN⊥PQ于N,由三角函數(shù)的知識(shí)求得
AB
BC
=
CD
AD
=
1
2
,則可令A(yù)H=t,將BH,CH,AB,BC用t表示出來,代入函數(shù)解析式即可求得t的值,則問題得解.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)過點(diǎn)B作BH⊥AO于H,
則OH=3,BH=
3

∴tan∠AOB=
3
3
,
∴∠AOB=30°,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠ABO=90°,
∴∠BAO=60°,
∴tan∠BAO=
BH
AH
=
3
,
∴AH=1,
∴A(4,0),
∵拋物線過原點(diǎn),設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx,
16a+4b=0
9a+3b=
3
,∴
a=-
3
3
b=
4
3
3

∴此拋物線的解析式為:y=-
3
3
x2+
4
3
3
x;

(2)∵四邊形AOCD是矩形,精英家教網(wǎng)
∴∠AOC=∠D=90°,OC∥AD,
∴∠ACO=∠CAD,
∵AC∥x軸,
∴∠OEC=90°,
∴∠AOE+∠COE=∠COE+∠OCA=90°,
∴∠AOE=∠ACO=∠CAD,
在Rt△ACD中,tan∠CAD=
CD
AD
,
∵AD=2CD,
∴tan∠ACO=tan∠AOE=tan∠CAD=
1
2
,
∵點(diǎn)A與C的縱坐標(biāo)相同,
∴可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-
1
2
y,y),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2y,y),
∵拋物線過原點(diǎn),
∴c=0,
∴拋物線解析式為:y=-
1
2
x2+bx,
將點(diǎn)A與C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得:
-
1
8
y2-
1
2
by=y
-2y2+2by=y
,
解得:b=-
3
2
,
∴此拋物線的解析式為:y=-
1
2
x2-
3
2
x;

(3)過點(diǎn)B作BH⊥AO于H,令頂點(diǎn)為P,
作拋物線對(duì)稱軸PQ交AC于點(diǎn)M,
過B作BN⊥PQ于N,
∴∠BHC=∠BHA=90°,
∵∠ABC=90°,
∴tan∠ABH=tan∠ACB=
AB
BC
=
CD
AD
=
1
2
,
令A(yù)H=t,則BH=2t,CH=4t,精英家教網(wǎng)
AB=
5
t,BC=2
5
t,
設(shè)y=ax2+bx+c=a(x-h)2+k,PN=n,
則A(h+
5
2
t
,k-n-2t),B(h+
3
2
t
,k-n),
k-n-2t=a(h+
5
2
t-h)2+k
k-n=a(h+
3
2
t-k)2+k
,
∴t1=0(舍去),t2=-
1
2a
,
∴AB=-
5
2a
,BC=-
5
a
,
∴矩形ABCD的周長(zhǎng)為-
3
5
a
點(diǎn)評(píng):此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,矩形的性質(zhì),三角函數(shù)的應(yīng)用以及求四邊形的周長(zhǎng)等知識(shí).此題綜合性很強(qiáng),難度較大,注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用.
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(-4,3)
(-4,3)
,矩形ABCD的面積為
8
8

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