Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點P、Q分別在邊AC、射線CB上，且AP＝CQ，過點P作PM⊥AB，垂足為點M，聯(lián)結(jié)PQ，以PM、PQ為鄰邊作平行四邊形PQNM，設(shè)AP＝x，平行四邊形PQNM的面積為y．

（1）當(dāng)平行四邊形PQNM為矩形時，求∠PQM的正切值；

（2）當(dāng)點N在△ABC內(nèi)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

（3）當(dāng)過點P且平行于BC的直線經(jīng)過平行四邊形PQNM一邊的中點時，直接寫出x的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y＝（0≤x＜）；（3）或．

【解析】

（1）當(dāng)四邊形PQMN是矩形時，PQ∥AB．根據(jù)tan∠PQM＝求解即可．

（2）如圖1中，延長QN交AB于K．求出MK，PM，根據(jù)y＝PMMK求解即可．

（3）分兩種情形：①如圖3﹣1中，當(dāng)平分MN時，D為MN的中點，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延長線于H，EG⊥BC于G．根據(jù)EG＝PC構(gòu)建方程求解．②如圖3﹣2中，當(dāng)平分NQ時，D是NQ的中點，作DH⊥CB交CB的延長線于H．根據(jù)PC＝GH構(gòu)建方程求解即可．

解：（1）在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝＝＝10，

當(dāng)四邊形PQMN是矩形時，PQ∥AB．

∴tan∠PQM＝＝＝．

（2）如圖1中，延長QN交AB于K．

由題意BQ＝6﹣x，QN＝PM＝x，AM＝x，KQ＝BQ＝，BK＝BQ＝，MK

∴MK＝AB﹣AM﹣BK＝，

∵QN＜QK，

∴x＜，

∴x＜，

∴y＝PMMK＝（0≤x＜）．

（3）①如圖3﹣1中，當(dāng)平分MN時，D為MN的中點，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延長線于H，EG⊥BC于G．

∵PD∥BC，EN∥BC，

∴PD∥NE，

∵PE∥DN，

∴四邊形PDNE是平行四邊形，

∴PE＝DN，

∵DN＝DM，PQ＝MN，

∴PE＝EQ，

∵EG∥PC，

∴CG＝GQ，

∴EG＝PC，

∵四邊形EGHN是矩形，

∴NH＝EG＝NQ＝PM＝x，PC＝8﹣x，

∴x＝（8﹣x），

解得x＝．

②如圖3﹣2中，當(dāng)平分NQ時，D是NQ的中點，作DH⊥CB交CB的延長線于H．

∵DH＝PC，

∴8﹣x＝x，

解得x＝，

綜上所述，滿足條件x的值為或．