Question

試求實(shí)數(shù)k（ k≠±1），使得方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0的兩根都是正整數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式

專題：

分析：根據(jù)k≠±1，得出方程為一元二次方程，根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，得出判別式△≥0，再利用方程兩根分別為x₁，x₂，由韋達(dá)定理，得出k的取值范圍，即可得出答案．

解答：解：∵k≠±1，
∴k²-1≠0，那么原方程為一元二次方程，
∵關(guān)于x的方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0的解都是正整數(shù)，
∴方程有實(shí)數(shù)根，判別式△≥0，
[-6（3k-1）]²-4×（k²-1）×72≥0，
整理，得：k²-6k+9≥0，
（k-3）²≥0．
設(shè)方程兩根分別為x₁，x₂得：
x₁+x₂=

6(3k-1)

k2-1

，
解得k＞1或-1＜k＜

1

3

，
x₁x₂=

72

k2-1

＞0，
k＞1或k＜-1．
綜上，得k＞1，
∵為整數(shù)，
∴k²-1可以為2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，
∵

6(3k-1)

k2-1

為整數(shù)，
∴k=2，3，

7

5

．
綜上，可知實(shí)數(shù)k的值2，3，

7

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根，根據(jù)題意利用根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式得出是解決問題的關(guān)鍵．