Question

【題目】如圖，已知AB∥CD,點(diǎn)E在直線AB,CD之間.

（1）求證：∠AEC=∠BAE+∠ECD;

（2）若AH平分∠BAE，將線段CE沿射線CD平移至FG.

①如圖2，若∠AEC=90°，FH平分∠DFG,求∠AHF的度數(shù)；

②如圖3，若FH平分∠CFG,試判斷∠AHF與∠AEC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①45°；②∠AHF=90°+∠AEC（或2∠AHF-∠AEC=180°），理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）過(guò)E作EF∥AB，可得∠A=∠AEN，利用平行于同一條直線的兩直線平行得到EN與CD平行，再得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而得出答案；
（2）①HF平分∠DFG，設(shè)∠GFH=∠DFH=x，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠AHF的度數(shù),再由∠AEC=90°，根據(jù)角的關(guān)系易得∠AHF的度數(shù)；②設(shè)∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及（1）中結(jié)論即可得到∠AHF與∠AEC的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作直線EN∥AB，

∵AB∥CD，
∴EN∥CD，
∴∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，
∴∠AEC=∠AEN+∠CEN=∠BAE+∠ECD；
（2）∵AH平分∠BAE，
∴∠BAH=∠EAH，
①∵HF平分∠DFG，設(shè)∠GFH=∠DFH=x，
又CE∥FG，
∴∠ECD=∠GFD=2x，
又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=90°，
∴∠BAH=∠EAH=45°-x，
如圖2，過(guò)點(diǎn)H作l∥AB，

易證∠AHF=∠BAH+∠DFH=45°-x+x=45°；
②設(shè)∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，
∵HF平分∠CFG，
∴∠GFH=∠CFH=90°-x，
由（1）知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+2y，
如圖3，過(guò)點(diǎn)H作l∥AB，

易證∠AHF-y+∠CFH=180°，
即∠AHF-y+90°-x=180°，∠AHF=90°+（x+y），
∴∠AHF=90°+∠AEC．（或2∠AHF-∠AEC=180°．）